Zadanie
Dana jest pewna kula o promieniu długości promienia 𝑅. Do kuli wpisano stożek, o którym wiadomo, że kąt między jego tworzącą a płaszczyzną podstawy ma miarę α. Wyznacz wzory na pole powierzchni całkowitej oraz objętości wpisanej bryły.
Rozwiązanie
Zauważ, że tworząca stożka jest rozpostarta na ramionach trójkąta równoramiennego o długości ramienia równej promieniowi kuli, o kącie między ramionami o mierze równej 2α (kąt środkowy oparty na cięciwie ma miarę dwa razy większą od kąta opartego na cięciwie o wierzchołku należącym do okręgu). Uzależnij długość tworzącej od kąta α i długości promienia kuli 𝑅:
Promień 𝑅 tworzy kąt wierzchołkowy 180° - 2α. Skorzystaj z definicji funkcji trygonometrycznych, żeby obliczyć długość promienia:
Wyznacz wysokość stożka za pomocą twierdzenia Pitagorasa:
Oblicz objętość ostrosłupa:
Oblicz pole powierzchni całkowitej:
Wyjaśnienie
Wykorzystaj twierdzenia planimetryczne o kątach w okręgu, twierdzenie cosinusów, kąty wierzchołkowe, definicję funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym oraz twierdzenie Pitagorasa, aby uzależnić długości tworzącej, promienia podstawy stożka oraz jego wysokość od promienia kuli opisanej i kąta między tworzącą a płaszczyzną podstawy. Podstaw obliczone długości do odpowiednich wzorów na objętość i pole powierzchni całkowitej stożka.
[MT1]Złe oznaczenie na rysunku.
Matematyka - wybrane pytania
REKLAMA
Zadania z tego działu
6. Geometria przestrzenna. Bryły obrotowe
144
Walec
144
Zadanie 6.1.
144Zadanie 6.2.
144Zadanie 6.4.
144Zadanie 6.11.
145Zadanie 6.19.
146Zadanie 6.20.
146
Stożek
147
Zadanie 6.31.
147Zadanie 6.32.
147Zadanie 6.33.
147Zadanie 6.34.
147Zadanie 6.36.
148Zadanie 6.37.
148Zadanie 6.40.
148Zadanie 6.41.
148Zadanie 6.42.
148Zadanie 6.46.
149
Kula i sfera
150
Zadanie 6.56.
150Zadanie 6.57.
150Zadanie 6.58.
150Zadanie 6.62.
150Zadanie 6.63.
150Zadanie 6.64.
150
Bryły obrotowe – zadania różne
151
Zadanie 6.74.
152
Podobieństwo figur w przestrzeni
153
Zadanie 6.88.
153Zadanie 6.89.
153Zadanie 6.91.
153
Zastosowanie analizy matematycznej w rozwiązywaniu zadań z geometrii przestrzennej
155
Zadanie 6.100.
155Zadanie 6.101.
155Zadanie 6.102.
156Zadanie 6.103.
156Zadanie 6.105.
156Zadanie 6.107.
156Zadanie 6.110.
157
Test sprawdzający do rozdziału 6.
157
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 6.
158
Zadanie 16.
159