O pewnym graniastosłupie prawidłowym czworokątnym wiadomo, że suma krawędzi bryły jest równa 48 cm. Wyznacz długości krawędzi i oblicz objętość takiego graniastosłupa o maksymalnej objętości.
Oznacz długość krawędzi bocznej jako 𝑎. Przedział, do którego należy zmienna to:
Wyznacz długość krawędzi podstawy. Suma długości krawędzi podstawy jest równa:
Długość pojedynczej krawędzi wynosi:
Objętość graniastosłupa wyraża się wzorem:
Wyznacz miejsce zerowe pochodnej tej funkcji:
Pochodna zmienia znak z dodatniej na ujemną w punkcie 𝑎 = 4, czyli jest maksimum lokalnym.
Długość krawędzi podstawy jest równa:
Zatem ten graniastosłup ma wymiary
– sześcian.
Objętość jest równa:
Odp. Graniastosłup o maksymalnej objętości to sześcian o krawędzi 4 cm i objętości 64 cm3.
Oznacz krawędź boczną jako zmienną i wyznacz przedział wartości (krawędź musi mieć długość i suma krawędzi bocznych nie może przekraczać sumy wszystkich krawędzi graniastosłupa). Oblicz długość krawędzi bocznej i oblicz objętość bryły. Miejsca zerowe pochodnej wyznaczonej funkcji wskazują na prawdopodobne ekstrema lokalne. Sprawdź, czy pochodna zmienia znak dla wyznaczonej wartości – masz wtedy do czynienia z ekstremum lokalnym.
Zadanie 6.1.
144Zadanie 6.2.
144Zadanie 6.4.
144Zadanie 6.11.
145Zadanie 6.19.
146Zadanie 6.20.
146Zadanie 6.31.
147Zadanie 6.32.
147Zadanie 6.33.
147Zadanie 6.34.
147Zadanie 6.36.
148Zadanie 6.37.
148Zadanie 6.40.
148Zadanie 6.41.
148Zadanie 6.42.
148Zadanie 6.46.
149Zadanie 6.56.
150Zadanie 6.57.
150Zadanie 6.58.
150Zadanie 6.62.
150Zadanie 6.63.
150Zadanie 6.64.
150Zadanie 6.74.
152Zadanie 6.88.
153Zadanie 6.89.
153Zadanie 6.91.
153Zadanie 6.100.
155Zadanie 6.101.
155Zadanie 6.102.
156Zadanie 6.103.
156Zadanie 6.105.
156Zadanie 6.107.
156Zadanie 6.110.
157Zadanie 16.
159