Zadanie
O przekroju osiowym walca wiadomo, że jego obwód jest równy 120 cm. Sprawdź, czy da się skonstruować walec o maksymalnym polu powierzchni całkowitej, wariując długości boków przekroju osiowego.
Rozwiązanie
Oznacz bok przekroju będący wysokością walca jako 𝑎. Długość drugiego boku - średnicy podstawy - jest równa:
Obie długości muszą być dodatnie, ponieważ opisują odcinki, zatem przedział wartości zmiennej jest równy:
Wyznacz wzór na pole powierzchni całkowitej tego walca względem wysokości:
Wyznacz miejsce zerowe pochodnej tej funkcji:
Zauważ, że wartość 𝑎 = 0 nie należy do przedziału wartości funkcji opisującej pole powierzchni całkowitej (𝑎 = 0 oznacza przypadek, gdzie walec staje się kołem (!)). Nie ma żadnego ekstremum na danym przedziale – funkcja nie osiąga wartości maksymalnej.
Odp. Nie da się skonstruować walca o maksymalnym polu powierzchni całkowitej – funkcja opisująca pole powierzchni całkowitej nie ma maksimum na danym przedziale.
Wyjaśnienie
Oznacz jeden z boków przekroju jako zmienną. Oblicz długość drugiego boku względem tej zmiennej i wyznacz przedział wartości. Podstaw otrzymane długości do wzoru na pole powierzchni całkowitej walca. Miejsca zerowe pochodnej wyznaczonej funkcji wskazują na prawdopodobne ekstrema lokalne. Potwierdź, że nie ma miejsc zerowych należących do przedziału funkcji.
Matematyka - wybrane pytania
REKLAMA
Zadania z tego działu
6. Geometria przestrzenna. Bryły obrotowe
144
Walec
144
Zadanie 6.1.
144Zadanie 6.2.
144Zadanie 6.4.
144Zadanie 6.11.
145Zadanie 6.19.
146Zadanie 6.20.
146
Stożek
147
Zadanie 6.31.
147Zadanie 6.32.
147Zadanie 6.33.
147Zadanie 6.34.
147Zadanie 6.36.
148Zadanie 6.37.
148Zadanie 6.40.
148Zadanie 6.41.
148Zadanie 6.42.
148Zadanie 6.46.
149
Kula i sfera
150
Zadanie 6.56.
150Zadanie 6.57.
150Zadanie 6.58.
150Zadanie 6.62.
150Zadanie 6.63.
150Zadanie 6.64.
150
Bryły obrotowe – zadania różne
151
Zadanie 6.74.
152
Podobieństwo figur w przestrzeni
153
Zadanie 6.88.
153Zadanie 6.89.
153Zadanie 6.91.
153
Zastosowanie analizy matematycznej w rozwiązywaniu zadań z geometrii przestrzennej
155
Zadanie 6.100.
155Zadanie 6.101.
155Zadanie 6.102.
156Zadanie 6.103.
156Zadanie 6.105.
156Zadanie 6.107.
156Zadanie 6.110.
157
Test sprawdzający do rozdziału 6.
157
Zadania powtórzeniowe do rozdziału 6.
158
Zadanie 16.
159