Oznacz długość promienia podstawy jako 𝑟. Wyznacz wysokość walca względem tej zmiennej:
Długość promienia musi być dodatnia, zatem:
Wyznacz funkcję opisującą długość przekątnej przekroju osiowego względem promienia podstawy:
Wyznacz miejsce zerowe pochodnej tej funkcji. Zauważ, że pierwiastek jest funkcją monotonicznie rosnącą oraz ciągłą na przedziale danym przez funkcję (długość przekątnej przekroju osiowego jest zawsze dodatnia). Zatem:
Pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni w wyznaczonym punkcie – masz do czynienia z minimum lokalnym.
Wysokość walca jest równa:
Odp. Walec o minimalnej długości przekątnej przekroju ma promień podstawy długości
i wysokość o długości
.
Oznacz promień podstawy walca jako zmienną. Oblicz długość wysokości względem tej zmiennej i wyznacz przedział wartości. Podstaw otrzymane długości do wzoru na pole powierzchni bocznej walca. Miejsca zerowe pochodnej wyznaczonej funkcji wskazują na prawdopodobne ekstrema lokalne. Sprawdź, czy pochodna zmienia znak dla wyznaczonej wartości – masz wtedy do czynienia z ekstremum lokalnym. Oblicz wysokość dla otrzymanych wartości, korzystając z wyprowadzonego wzoru.