O pewnym stożku wiadomo, że jego pole powierzchni bocznej wynosi
dm2. Wyznacz promień podstawy, wysokość oraz długość tworzącej stożka o maksymalnej objętości.
Oznacz promień podstawy jako 𝑟, wysokość stożka jako 𝐻 oraz tworzącą jako 𝑙. O tworzącej wiadomo, że:
Podstaw do wzoru na pole powierzchni bocznej:
Oblicz dziedzinę promienia stożka:
Wyznacz wzór na objętość stożka względem promienia podstawy:
Wyznacz miejsce zerowe pochodnej tej funkcji. Zauważ, że pierwiastek jest funkcją monotonicznie rosnącą oraz ciągłą na przedziale danym przez funkcję (objętość stożka jest zawsze dodatnia). Zatem:
Pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w wyznaczonym punkcie – masz do czynienia z maksimum lokalnym.
Oblicz wysokość stożka:
Oblicz długość tworzącej stożka;
Odp. Promień podstawy, tworząca oraz wysokość stożka mają długości odpowiednio: 2 dm,
dm,
dm.
Oznacz promień podstawy, tworzącą oraz wysokość stożka jako zmienne. Oblicz długość tworzącej oraz wysokości bryły względem promienia podstawy i wyznacz przedział wartości. Podstaw otrzymane długości do wzoru na objętość stożka. Miejsca zerowe pochodnej wyznaczonej funkcji wskazują na prawdopodobne ekstrema lokalne. Sprawdź, czy pochodna zmienia znak dla wyznaczonej wartości – masz wtedy do czynienia z ekstremum lokalnym. Oblicz długości: tworzącej oraz wysokości bryły dla otrzymanych wartości, korzystając z wyprowadzonych wzorów.