O pewnym stożku wiadomo, że jego tworząca ma długość 4 cm. Zawrzyj objętość tego stożka za pomocą funkcji względem promienia podstawy 𝑟. Oblicz promień podstawy stożka o maksymalnej objętości.
Opisz wysokość stożka jako ℎ. Wyznacz jego długość względem promienia podstawy:
Wyznacz dziedzinę zmiennej ℎ:
Wyznacz wzór na objętość stożka względem promienia podstawy bryły:
Wyznacz miejsce zerowe pochodnej tej funkcji. Zauważ, że pierwiastek jest funkcją monotonicznie rosnącą oraz ciągłą na przedziale danym przez funkcję (objętość stożka jest zawsze dodatnia). Zatem:
Pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w wyznaczonym punkcie – masz do czynienia z maksimum lokalnym.
Odp. Promień podstawy stożka o maksymalnej objętości wynosi
cm.
Podobnie jak w podpunkcie a), ze zmianą polegającą na wyznaczaniu objętości względem promienia podstawy, nie wysokości. Wyliczone wartości z tego podpunktu oraz podpunktu a) pokrywają się – nie ma znaczenia, względem którego odcinka wariuje się objętość - osiągnięte minimum jest identyczne.
Zadanie 6.1.
144Zadanie 6.2.
144Zadanie 6.4.
144Zadanie 6.11.
145Zadanie 6.19.
146Zadanie 6.20.
146Zadanie 6.31.
147Zadanie 6.32.
147Zadanie 6.33.
147Zadanie 6.34.
147Zadanie 6.36.
148Zadanie 6.37.
148Zadanie 6.40.
148Zadanie 6.41.
148Zadanie 6.42.
148Zadanie 6.46.
149Zadanie 6.56.
150Zadanie 6.57.
150Zadanie 6.58.
150Zadanie 6.62.
150Zadanie 6.63.
150Zadanie 6.64.
150Zadanie 6.74.
152Zadanie 6.88.
153Zadanie 6.89.
153Zadanie 6.91.
153Zadanie 6.100.
155Zadanie 6.101.
155Zadanie 6.102.
156Zadanie 6.103.
156Zadanie 6.105.
156Zadanie 6.107.
156Zadanie 6.110.
157Zadanie 16.
159