Dany jest trójkąt prostokątny, w którym wysokość wychodzi z kąta 90°. Dzieli ona przeciwprostokątną na 2 odcinki w taki sposób, że jeden z nich jest 3 razy dłuższy od drugiego.
W wyniku obrotu tego trójkąta wokół kolejno jednej i drugiej przyprostokątnej powstają dwa stożki. Udowodnij, że ich objętości pozostają w stosunku
.
Wysokość h rozpisz ze wzoru na wysokość poprowadzoną z kąta prostego:
Zapisz układ dotyczący trójkątów powstałych przez poprowadzenie wysokości h:
Od równania pierwszego odejmij drugie:
Z twierdzenia Pitagorasa dotyczącego całego trójkąta:
Wstaw wartość a2 wyprowadzoną wyżej:
Stąd:
Rozpatrz poszczególne stożki:
1)
– promień podstawy
– wysokość
2)
– promień podstawy
– wysokość
Co należało wykazać.
Stwórz rysunek pomocnicy. Zapisz długość przeciwprostokątnej jako sumę dwóch odcinków pozostających w podanym stosunku, np.: x i 3x.
Korzystając ze wzoru na wysokość poprowadzoną z kąta prostego oraz twierdzenia Pitagorasa dotyczącego poszczególnych trójkątów, zapisz uzależnij długości przyprostokątnych od x.
Rozpatrz stożki powstałe poprzez obrót trójkąta wokół poszczególnych przyprostokątnych.
Oblicz ich objętości i zapisz ich stosunek. Zauważ, że jest on równy temu podanemu w tezie, co kończy dowód.