Oznacz bok przekroju będący wysokością walca jako 𝑎. Długość drugiego boku - średnicy podstawy - jest równa:
Obie długości muszą być dodatnie, ponieważ opisują odcinki, zatem przedział wartości zmiennej jest równy:
Wyznacz wzór na objętość tego walca względem wysokości:
Wyznacz miejsce zerowe pochodnej tej funkcji:
Pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny w wyznaczonym punkcie – masz do czynienia z maksimum lokalnym.
Promień podstawy walca o maksymalnej objętości jest równy:
Objętość tego walca to:
Pole powierzchni bocznej tego walca to:
Odp. Walec osiąga maksymalną objętość dla przekroju o wymiarach
cm. Objętość wynosi
cm3, pole powierzchni bocznej wynosi
cm2.
Oznacz jeden z boków przekroju jako zmienną. Oblicz długość drugiego boku względem tej zmiennej i wyznacz przedział wartości. Podstaw otrzymane długości do wzoru na objętość walca. Miejsca zerowe pochodnej wyznaczonej funkcji wskazują na prawdopodobne ekstrema lokalne. Sprawdź, czy pochodna zmienia znak dla wyznaczonej wartości – masz wtedy do czynienia z ekstremum lokalnym. Oblicz objętość oraz pole powierzchni bocznej dla otrzymanych wartości, korzystając z odpowiednich wzorów.