W tym zadaniu trzeba ustalić ilość białych i czarnych kul w pojemniku, z którego losowanie kuli jest przedmiotem loterii. Szacuje się, że weźmie w niej udział 2000 osób, a zysk organizatorów wyniesie 10 000 zł. Koszt wzięcia udziału w loterii wynosi 10 zł. Za wylosowanie kuli czarnej wygrana wynosi 100 zł, zaś za wylosowanie kuli białej nie ma nagrody. Kula po wylosowaniu trafia z powrotem do pojemnika

x – ilość osób, które wygrały

2000 – x – ilość osób, które przegrały

10 zł – zysk organizatora w przypadku przegranej gracza

-100 zł + 10 zł = -90 zł – zysk organizatora w przypadku wygranej gracza (strata)

$\text{[math]}$

y – prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej

$\text{[math]}$

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej (zdarzenie przeciwne do wylosowania kuli czarnej)

$\text{[math]}$

Odp.: Więc kule czarne muszą stanowić $\text{[math]}$ wszystkich kul, zaś kule białe $\text{[math]}$ wszystkich kul. Co oznacza, że kul białych musi być 19 razy więcej niż czarnych.

Znając ilość osób, które wygrały (a co za tym idzie ilość osób, które przegrały) możesz obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kul wygrywających, a stąd już łatwo określić, ile powinno być danych kul w pojemniku. Aby obliczyć ilość osób, które wygrały zapisz równanie opisujące zysk organizatora w loterii. Zysk organizatora można obliczyć mnożąc ilość osób, które przegrały przez koszt udziału w loterii i odejmując od tego iloczyn osób, które wygrały i koszt organizatora nagrody dla nich. Zauważ, że dla organizatora przegrana uczestnika jest zyskiem w wysokości ceny losu. Z kolei, gdy gracz wygra 100 zł, to organizator musi wypłacić 100 zł, jednak taki gracz wpłacił wcześniej koszt uczestnictwa w loterii, więc realna strata organizatora wynosi 90 zł. Pamiętaj, że strata to ujemny zysk. Oczywiście po prawej stronie równania postaw spodziewany zysk organizatora, czyli 10 000 zł. Jeśli oznaczysz jako x ilość osób, które wygrają, to pozostałe osoby, które wzięły udział w loterii przegrają, więc będzie ich 2000 – x. Zapisz równanie opisujące zysk organizatora i oblicz x. Jeśli znałbyś prawdopodobieństwo wylosowania kuli zwycięskiej (czyli czarnej) to, aby oszacować, ile osób wygra w tej loterii mnożyłbyś to prawdopodobieństwo przez ilość wszystkich uczestników. Ale wiesz, ile osób powinno wygrać i nie wiesz, ile wynosi prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej. Więc oznacz to prawdopodobieństwo jako y i zapisz to działanie, które byś wykonał, aby oszacować ilość zwycięzców. Następnie oblicz z niego y. Ponieważ prawdopodobieństwo według klasycznej definicji to iloraz ilości danych kul i wszystkich kul w pojemniku, to oznacza, że dostałeś odsetek kul wygrywających w pojemniku. Oczywiście nie oznacza to, że jest jedna kula czarna, a 20 wszystkich, gdyż np. dla 2 kul czarnych i 40 kul wszystkich otrzymasz po skróceniu to samo prawdopodobieństwo. Więc otrzymana wartość to jedynie stosunek kul czarnych do wszystkich. Ponieważ wylosowanie kuli białej jest zdarzeniem przeciwnym, to aby obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli, wystarczy, że od 1 odejmiesz prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej.