W tym zadaniu musisz określić, ile gracz powinien tracić za wyrzucenie szóstki, aby gra była sprawiedliwa, w grze polegającej na rzuceniu kostką do gry i poniesienia przegranej po wyrzuceniu 6, zaś w przeciwnym wypadku rzuceniu kostką jeszcze raz. Przy drugim rzucie gracz otrzymuje nagrodę wynoszącą tyle złotych, ile oczek wyrzucił.
A – w pierwszym rzucie wypadnie szóstka
B1, B2, …, B6 – w pierwszym rzucie wypadnie inna liczba niż 6, a w drugim wypadnie liczba oczek odpowiadająca indeksowi prawdopodobieństwa (dla B1 wypadnie 1 oczko itd.)
x – kwota przegranej w wyniku wyrzucenia za pierwszym razem 6
6
O grze mówimy, że jest sprawiedliwa wtedy, gdy jej wartość oczekiwana wynosi 0. Więc zadanie będzie polegać na przyrównaniu wartości oczekiwanej do 0, podstawieniu za szukaną stawkę x oraz rozwiązanie równania. Jednak, aby uzyskać równanie z x musisz obliczyć prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń. Zauważ, że masz tu do czynienia z doświadczeniem wieloetapowym, więc warto narysować sobie drzewko. Każdy poziom odpowiada kolejnemu rzutowi. Wyrzucenie 6 w pierwszym rzucie prowadzi do końca gry, więc nie musisz dla tego przypadku rysować dalszych gałęzi. Prawdopodobieństwo wyrzucenia danej ilości oczek obliczasz z klasycznej definicji prawdopodobieństwa dzieląc ilość danych ścianek przez ilość wszystkich ścianek w kostce (czyli 6). Gdy już będziesz miał całe drzewko możesz policzyć szukane prawdopodobieństwa. Dla uproszczenia oznaczeń, prawdopodobieństwa wyrzucenia poszczególnych ilości oczek w drugim rzucie oznacz jako B z indeksem oznaczającym ilość oczek w drugim rzucie. Okazuje się, że te wszystkie prawdopodobieństwa są sobie równe. Mając te wszystkie informacje podstaw je do wzoru na wartość oczekiwaną, przyrównaj to wyrażenie do 0 i oblicz x. Pamiętaj, że stratę zapisuj jako ujemną wygraną. Aby pozbyć się ułamków warto przemnożyć obie strony równania przez wspólny mianownik, czyli 36.
Ćwiczenie A.
43Przykład 1.
43Zadanie 1.
46Zadanie 2.
46Zadanie 4.
46Zadanie 5.
47Zadanie 6.
47Zadanie 7.
47Zadanie 12.
48Zadanie 16.
49Zadanie 18.
49Zadanie 20.
50Zadanie 1.
53Zadanie 2.
53Zadanie 3.
53Zadanie 6.
54Zadanie 7.
54Zadanie 10.
54Ćwiczenie A.
57Zadanie 1.
61Zadanie 2.
61Zadanie 4.
61Zadanie 5.
61Zadanie 7.
62Zadanie 8.
62Zadanie 10.
62Zadanie 11.
62Zadanie 12.
62Zadanie 15.
63Zadanie 17.
63Zadanie 18.
63Zadanie 1.
67Zadanie 2.
67Zadanie 3.
68Zadanie 5.
68Zadanie 12.
69Ćwiczenie A.
70Przykład 2.
73Zadanie 3.
74Zadanie 4.
74Zadanie 5.
75Zadanie 6.
75Zadanie 7.
75Zadanie 8.
75Zadanie 9.
75Zadanie 10.
75Zadanie 11.
76Zadanie 12.
76Zadanie 13.
76Zadanie 15.
77Zadanie 16.
77Zadanie 22.
77Zadanie 23.
78Zadanie 24.
78Zadanie 25.
78Zadanie 1.
81Zadanie 2.
81Zadanie 3.
81Zadanie 4.
81Zadanie 5.
82Zadanie 6.
82Zadanie 7.
82Zadanie 8.
82Zadanie 9.
82Zadanie 10.
83Zadanie 11.
83Zadanie 12.
83Zadanie 1.
84Zadanie 3.
84Zadanie 6.
84Zadanie 7.
84Zadanie 8.
84Zadanie 10.
84