W tym zadaniu musisz wyznaczyć jaka kwota jest przegrywana w grze polegającej na rzucie trójką kostek do gry w innych sytuacjach niż wyrzucenie przynajmniej jednej szóstki (co daje wygraną 20 zł) lub wyrzucenie trzech jedynek (co daje wygraną 100 zł), jeśli wiesz, że gra jest sprawiedliwa.

N = 6 ∙ 6 ∙ 6

A – wyrzucenie przynajmniej jednej szóstki

A’ – niewyrzucenie żadnej szóstki

n_A = 5 ∙ 5 ∙ 5

$\text{[math]}$

B – wyrzucenie trzech jedynek

n_B = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1

$\text{[math]}$

C – pozostałe przypadki

C’ – zdarzenie, że A lub B

$\text{[math]}$

O grze mówimy, że jest sprawiedliwa wtedy, gdy jej wartość oczekiwana wynosi 0. Więc zadanie będzie polegać na przyrównaniu wartości oczekiwanej do 0, podstawieniu za szukaną stawkę x oraz rozwiązanie równania. Jednak, aby uzyskać równanie z x musisz obliczyć prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń. Przestrzenią zdarzeń elementarnych będą w tym wypadku wszystkie możliwe kombinacje wyrzucenia 3 kostek. Każdą kostkę możesz wyrzucić na 6 sposobów. Aby uzyskać szukaną ilość kombinacji wystarczy, że przemnożysz przez siebie wszystkie ilości sposobów.

Zauważ, że wyrzucenie przynajmniej jednej szóstki jest zdarzeniem przeciwnym do niewyrzucenia ani jednej szóstki. Więc najpierw oblicz prawdopodobieństwo tego, że nie wylosuje się ani jednej szóstki, a następnie skorzystaj z definicji zdarzenia przeciwnego. Aby obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego musisz skorzystać z klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Przestrzeń zdarzeń elementarnych została policzona szybciej. Zdarzeniem losowym w tym przypadku są takie rzuty kostkami, że nie trafi się na 6. Za każdym razem możesz wyrzucić dowolną ilość oczek oprócz szóstki, co daje 5 możliwości. Korzystając z reguły mnożenia, przemnażając przez siebie te liczby otrzymasz szukaną ilość sposobów. Następnie skorzystaj z klasycznej definicji prawdopodobieństwa i podziel ilość zdarzeń losowych przez ilość zdarzeń elementarnych. Na koniec użyj definicji zdarzenia przeciwnego, by obliczyć szukane prawdopodobieństwo.

Aby obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia samych jedynek musisz skorzystać z klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Przestrzeń zdarzeń elementarnych została już szybciej obliczona. Zdarzeniem losowym w tym przypadku są takie rzuty, że za każdym razem będą jedynki. Masz więc tylko po jednej możliwości. Korzystając z reguły mnożenia, przemnażając przez siebie te liczby otrzymasz szukaną ilość sposobów, czyli 1 sposób. Na koniec skorzystaj z klasycznej definicji prawdopodobieństwa i podziel ilość zdarzeń losowych przez ilość zdarzeń elementarnych.

Pozostałe przypadki to oczywiście zdarzenie przeciwne do poprzednich dwóch zdarzeń. Prawdopodobieństwo, że zdarzy się zdarzenia A lub B to suma tych prawdopodobieństw. Aby obliczyć prawdopodobieństwo pozostałych przypadków wystarczy więc skorzystać z definicji zdarzenia przeciwnego.

Mając te wszystkie informacje podstaw je do wzoru na wartość oczekiwaną, przyrównaj to wyrażenie do 0 i oblicz x. Pamiętaj, że stratę zapisuj jako ujemną wygraną. Aby pozbyć się ułamków warto przemnożyć obie strony równania przez wspólny mianownik, czyli 54. To zadanie możesz także zrobić korzystając z metody drzewka.