W tym zadaniu trzeba określić na ile sposobów można stworzyć trzycyfrową liczbę podzielną przez 3 zawierającą jedną i tylko jedną 9.

Aby liczba była podzielna przez 3, to suma jej cyfr musi być podzielna przez 3. Jeśli liczba składa się dokładnie z jednej 9, to suma pozostałych dwóch cyfr musi być podzielna przez 3.

Do każdej cyfry od 0 do 8 możesz dobrać 3 inne cyfry z tego zakresu takie, że ich suma razem da liczbę podzielną przez 3.

9 to liczba setek

Liczbę setek można wybrać na: 1 sposób (9)

Liczbę dziesiątek można wybrać na: 9 sposobów

Liczbę jednostek można wybrać na: 3 sposoby

Łącznie takich liczb jest: 1 ∙ 9 ∙ 3 = 27

9 to liczba dziesiątek

Liczbę setek można wybrać na: 8 sposobów

Liczbę dziesiątek można wybrać na: 1 sposób (9)

Liczbę jednostek można wybrać na: 3 sposoby

Łącznie takich liczb jest: 8 ∙ 1 ∙ 3 = 24

9 to liczba jednostek:

Liczbę setek można wybrać na: 8 sposobów

Liczbę dziesiątek można wybrać na: 3 sposoby

Liczbę jednostek można wybrać na: 1 sposób

Łącznie takich liczb jest: 7 ∙ 3 ∙ 1 = 24

Łącznie liczb trójcyfrowych podzielnych przez 3 z dokładnie jedną cyfrą 9 jest: 27 + 24 + 24 = 75

Aby określić na ile sposobów możesz stworzyć liczbę opisaną w treści, zastanów się na ile sposobów możesz wybrać liczbę na każdą z pozycji. Najpierw przypomnij sobie warunek podzielności przez 3. Liczba dzieli się przez 3, jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 3. Jeśli jedną z cyfr jest 9, to ponieważ 9 dzieli się przez 3, pozostałe cyfry po dodaniu także muszą się dzielić przez 3. Zauważ, że jeśli będziesz rozważał cyfry od 0 do 8, to dla każdej z nich, wśród tych cyfr znajdziesz 3, takie że po dodaniu do siebie dadzą liczbę podzielną przez 3 (dla 0: 0, 3, 6; dla 1: 2, 5, 8; dla 2: 1, 4, 7; dla 3: 0, 3, 6; dla 4: 2, 5, 8; dla 5: 1, 4, 7; dla 6: 0, 3, 6; dla 7: 2, 5, 8; dla 8: 1, 4, 7). Więc jeśli wybierzesz jakąkolwiek cyfrę, to drugą możesz wybrać jedynie z tych 3, które po dodaniu dadzą liczbę podzielną przez 3. Rozważ przypadki ze względu na położenie 9. Cyfra ta może stać na pozycji setek, dziesiątek lub jednostek. Rozważając dany przypadek w miejscu 9 nie masz innego wyboru, czyli masz 1 możliwość. Na drugiej pozycji może stanąć dowolna cyfra oprócz 9, zaś na ostatniej jedna z tych 3, które dają sumę podzielną z 3 z tą cyfrą, która została wybrana na drugiej pozycji. Pamiętaj, że na cyfrę setek nie możesz wybrać 0, gdyż otrzymasz liczbę dwucyfrową. Aby obliczyć na ile sposobów można dobrać taką liczbę w każdym przypadku, musisz przemnożyć możliwości ilości wyboru każdej cyfry przez siebie, a następnie dodać do siebie wszystkie dwa przypadki korzystając z reguły dodawania.