Mając dany ostrosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny oraz wiedząc, że cosinus, kąta pomiędzy krawędzią boczną, a podstawą, wynosi
, a jego objętość wynosi
cm3, wyznacz, ile ma jego wysokość i krawędzie.
Stwórz rysunek pomocniczy, gdzie a to długość krawędzi podstawy, H to wysokość ostrosłupa, hp to wysokość podstawy:
Uzależnij H od a, wykorzystując podaną objętość oraz wzór na pole trójkąta równobocznego:
Uzależnij hp od a, korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym:
Wykorzystaj wzór na jedynkę trygonometryczną, aby obliczyć sinus podanego kąta i wyznacz jego tangens:
Oblicz długość odcinka CE:
Wykorzystaj zależności tangensa w trójkącie prostokątnym CDE, aby obliczyć a:
Oblicz długość krawędzi bocznej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
Stwórz rysunek pomocniczy. Wykorzystaj podaną objętość i uzależnij wysokość H od a, wykorzystaj do tego wzór na objętość ostrosłupa
oraz wzór na pole trójkąta równobocznego
. Pamiętaj, że spodek wysokości jest środkiem trójkąta równobocznego, a więc dzieli on wysokość w stosunku 1 : 2. Wykorzystaj tą informację i oblicz długość odcinka CE, dodatkowo używając wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym
. Zwróć uwagę na to, że gdybyś miał tangens kąta to obliczyłbyś a, dlatego skorzystaj ze wzoru na jedynkę trygonometryczną
, a następnie oblicz tangens
. Teraz możesz obliczyć długość a. Podstaw obliczone a do wzoru na H. Na koniec wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa i oblicz długość krawędzi bocznej.
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143