Wiedząc, że punkty A, B, C, D nie są współpłaszczyznowe, odcinki AC i BC są prostopadłe do CD, a ED do AB oraz |AE| = |EB|, udowodnij, że ramiona trójkąta ABC mają takie same długości.
Na początku stwórz rysunek pomocniczy:
Zauważ, że skoro DE jest prostopadły do AB to jest on wysokością trójkąta ABD, a skoro punkt E dzieli odcinek AB na pół, to musi być on co najmniej równoramienny, czyli odcinki AD oraz BD są sobie równe.
Trójkąty ACD oraz BCD są prostokątne.
Zauważ, że z twierdzenia Pitagorasa:
Odcinki AD oraz BD są równe więc:
Odejmij od siebie równania:
Oznacza to, że dwa z ramion trójkąta ABC są sobie równe, a więc ten trójkąt jest równoramienny.
Co kończy dowód.
Stwórz rysunek pomocniczy. Pamiętaj, że jeśli trójkąt ma dwa boki takiej samej długości lub jeśli wysokość opuszczona z wierzchołka na podstawę dzieli ją na pół, to trójkąt musi być równoramienny. Zauważ, że w trójkącie ABD wysokość ED dzieli podstawę na pół, a więc jest on równoramienny. Oznacza to, że odcinki AD oraz BD są takie same. Teraz wystarczy, że stworzysz układ równań za pomocą Twierdzenia Pitagorasa, do trójkątów ACD oraz BCD, i odejmiesz je od siebie. Pozostanie ci równość
, która ostatecznie wykazuje, że trójkąt ABC jest równoramienny.
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143