Udowodnij, że PQ jest równoległa do płaszczyzny π, gdy |AP| = |PC| i |BQ| = |QC| oraz wiedząc, że A i B znajdują się na płaszczyźnie π, C to punkt znajdujący się w przestrzeni, ale nienależący do płaszczyzny π, a P i Q należą odpowiednio do odcinków AC oraz BC.
Zapisz dane podane w zadaniu:
Rysunek obrazujący sytuację z polecenia:
Wykorzystaj twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa i ułóż odpowiednią proporcję:
Wyznacz lewą stronę równania:
Wyznacz prawą stronę równania:
Lewa strona równania jest równa prawej, a więc zachodzi twierdzenie Talesa. Oznacza to, że odcinki AB oraz PQ są równoległe.
Jeśli odcinki PQ oraz AB są równoległe, a punkty A i B zawierają się na płaszczyźnie, to i odcinek AB zawiera się w płaszczyźnie π. Oznacza to, że odcinek PQ jest równoległy do płaszczyzny π.
Co kończy dowód.
Zauważ, że do udowodnienia podanego zadania musisz wykorzystać twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa, które mówi, że jeśli stosunki odpowiadających sobie odcinków, przy pewnym kącie, są sobie równe, to proste przecinające ramiona tego kąta są równoległe. Stwórz odpowiednią proporcję, a następnie wykorzystaj równości |AP| = |PC| i |BQ| = |QC|, aby uprościć lewą i prawą stronę równania.
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143