Dany jest sześcian ABCDA1B1C1D1 o krawędzi 𝑎. Przeprowadzono przez niego płaszczyznę w taki sposób, że zawiera ona wierzchołki A1, B i C1. Oblicz odległość tej płaszczyzny od wierzchołka B1.
Naszkicuj sytuację przedstawioną w treści zadania:
Zauważ, że trójkąt A1BC1 jest zbudowany z przekątnych ścian sześcianu – przekrój to trójkąt równoboczny. Długość boków przekroju wynosi więc
.
Wysokość przekroju jest równa:
Bryła A1BC1B1 to ostrosłup prawidłowy trójkątny. Punkt O to spodek jego wysokości, a długość odcinka |B1O| to wysokość – poszukiwana odległość od płaszczyzny. Zauważ, że trójkąt B1C1O to trójkąt prostokątny.
Odcinek |C1O| jest równy dwóm trzecim długości wysokości przekroju:
Oblicz długość odcinka |B1O|:
Odp. Odległość punktu B1 od płaszczyzny jest równa
.
Zauważ, że przekrój to trójkąt równoboczny, a bryła A1BC1B1 to ostrosłup prawidłowy trójkątny. Wykorzystaj własności trójkąta równobocznego, by obliczyć długość przyprostokątnej trójkąta B1C1O. Następnie skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa, by obliczyć szukaną odległość.
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143