Udowodnij, że płaszczyzna (PQR) jest równoległa do płaszczyzny (ABC), wiedząc, że A, B, C, D nie są współpłaszczyznowe, odcinek AB ma taką samą długość jak BC, środkiem odcinka AD jest punkt P, środkiem odcinka BD – Q, a środkiem odcinka CD – R.
Rysunek obrazujący sytuację z polecenia:
Zauważ, że odcinek PQ jest środkową trójkąta ABD, odcinek QR jest środkową trójkąta BCD, a odcinek PR – ACD.
Wykorzystując twierdzenie o środkowej w trójkącie, zauważ, że środkowa w trójkącie jest równoległa do jego podstawy, oznacza to, że odcinki ograniczające płaszczyznę (PQR) są równoległe do odcinków ograniczających płaszczyznę (ABC), a więc podane płaszczyzny są równoległe.
Co kończy dowód.
Naszkicuj rysunek pomocniczy. Zauważ, że odcinki PQ, QR, oraz PR są środkowymi poszczególnych trójkątów. Wykorzystaj twierdzenie o środkowej w trójkącie, które mówi, że środkowa trójkąta jest równoległa do podstawy i jest równa połowie jej długości. Zauważ, że odcinki ograniczające płaszczyznę (PQR) są równoległe do odcinków ograniczających płaszczyznę (ABC), a więc podane płaszczyzny są równoległe.
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143