Dany jest pewien ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości 20 cm. Przez bryłę przeprowadzono płaszczyznę w taki sposób, że zawiera środki sąsiadujących krawędzi podstawy oraz wierzchołek ostrosłupa. Wiedząc, że ściana boczna ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60°, oblicz pole powstałego przekroju.
Naszkicuj sytuację przedstawioną w treści zadania:
By wyznaczyć pole przekroju GIO, potrzebna będzie długość podstawy GI oraz wysokość na nią opuszczona – HO.
Spodek wysokości P w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym jest środkiem symetrii podstawy. Zauważ, że punkt P dzieli odcinek JI na dwa przystające odcinki: JP i PI. Odcinek GP ma tą samą długość i tworzy kwadrat GPIB o boku długości 10 cm. Odcinek GI jest przekątną tego kwadratu, więc ma długość:
Odcinek PH ma długość równą połowie przekątnej kwadratu GPIB:
Zauważ, że skoro ostrosłup jest prawidłowy, to wszystkie ściany boczne są przystające i nachylone pod tym samym kątem do płaszczyzny podstawy. Trójkąt JOI składa się więc z przynajmniej dwóch kątów 60° - jeden przy punkcie J, a drugi przy I. Czyni to z niego trójkąt równoboczny. Wobec tego długość jego wysokości – odcinka PO jest równa:
Wykorzystaj fakt, że trójkąt OPH jest prostokątny, by obliczyć długość odcinka HO:
Pole przekroju wynosi więc:
Odp. Pole przekroju jest równe
cm2.
Wykorzystaj długości charakterystycznych odcinków (przekątna kwadratu, własności ostrosłupów prawidłowych, wysokość trójkąta równobocznego) oraz twierdzenie Pitagorasa, by obliczyć długości podstawy i wysokości przekroju, znając tylko długość krawędzi bocznej.
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143