Określ, czy prosta DE i płaszczyzna (FCC1F1) są prostopadłe, mając dany prostopadłościan ABCDA1B1C1D1, którego podstawa jest kwadratem ABCD, dodatkowo wiedząc, że krawędzie AB, AD oraz A1D1 są podzielone w stosunku 1:4 przez odpowiadające im punkty E, F, F1. Wyjaśnij swój wybór.
Oznacz miejsce przecięcia odcinków CF oraz DE jako G.
Zauważ, że długość krawędzi sześcianu to 5|AF|, a |AF|=|BE|=|A1F1|, załóż, że:
Podpisz kąty w podstawie:
Zauważ, że trójkąty ADE oraz CDF są podobne z zależności BBB.
Stąd wynika, że:
Wiesz, że:
Kąty w trójkącie DFG to:
Oznacza to, że kąt DGF ma miarę 90°, a więc odcinki CF oraz DE są prostopadłe.
Zauważ, że odcinek równoległy do C1C i przeprowadzony przez punkt G, będzie prostopadły do odcinków DE oraz FC, co oznacza, że odcinek DE jest prostopadły do płaszczyzny (FCC1F1).
Podpisz punkt przecięcia odcinków CD oraz DE jako punkt G. Wykorzystaj stosunek podany w poleceniu i określ długości boków, a następnie zauważ, że trójkąty ADE oraz CDF są podobne z zależności BBB. Dzięki temu możesz obliczyć kąty w trójkącie DFG i zauważysz, że jest on prostokątny. Zauważ, że prosta DE jest prostopadła do CF i do C1C, dzięki temu wiesz, że jest ona także prostopadła do płaszczyzny (FCC1F1).
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143