Dany jest sześcian o długości krawędzi 𝑎. Przez bryłę przeprowadzono płaszczyznę w taki sposób, że zawiera ona przekątną podstawy i jest nachylona do tej podstawy pod kątem 60°. Oblicz pole powstałego przekroju.
Naszkicuj sytuację przedstawioną w treści zadania:
Zauważ, że:
czyli płaszczyzna nie przecina się z krawędzią boczną bryły tylko z podstawą, tworząc trapez równoramienny.
Podstawa przekroju AB ma długość równą przekątnej ściany sześcianu, czyli
. Zauważ, że rzut prostokątny wysokości przekroju na podstawę sześcianu zawiera się w przekątnej podstawy. Otrzymany trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej PO to trójkąt o kątach wewnętrznych 30°, 60°, 90°. Skorzystaj z tej zależności lub z definicji funkcji trygonometrycznych, by obliczyć wysokość przekroju:
Aby obliczyć długość odcinka DE, skorzystaj z podobieństwa; zauważ, że trójkąt ABC jest podobny do trójkąta DEC z reguły kąt-kąt-kąt. Aby móc skorzystać z tej relacji, oblicz długość odcinka CP:
Odcinek CP ma więc długość:
Skorzystaj z podobieństwa figur:
Pole przekroju jest więc równe:
Odp. Pole przekroju sześcianu wynosi
.
Zauważ, że przekrój nie jest trójkątem a trapezem równoramiennym. Wyznacz długości odcinków za pomocą definicji funkcji trygonometrycznych. Skorzystaj również z podobieństwa trójkątów, by obliczyć długość krótszej podstawy.
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143