Mając dany graniastosłup prosty, którego podstawą jest sześciokąt foremny, którego najdłuższa przekątna wynosi d oraz wiedząc, że kąt zawarty między nią, a przekątną ściany bocznej, która ma początek w takim samym wierzchołku, jest równy α, określ objętość bryły oraz α, dla których to zadanie jest rozwiązywalne.
Stwórz rysunek pomocniczy, gdzie H to wysokość graniastosłupa, d to najdłuższa przekątna podstawy, a to krawędź podstawy, e to przekątna ściany bocznej, α to kąt podany w poleceniu:
Najdłuższa przekątna podstawy składa się z dwóch krawędzi podstawy.
Odcinek KI składa się z dwóch wysokości trójkątów równobocznych. Oblicz długość odcinka KI:
Uzależnij e od H, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
Wyznacz długość odcinka CK, korzystając z twierdzenia cosinusów:
Wyznacz długość odcinka CK, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
Porównaj obydwie długości i podstaw wyznaczone e:
Oblicz objętość, skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:
Kąt α na pewno musi być mniejszy od 90°.
Oblicz dziedzinę α:
Z tej nierówności wynika, że:
Oznacza to, że α:
Stwórz rysunek pomocniczy. Pamiętaj, że sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych. Zwróć uwagę na to, że najdłuższa przekątna składa się z dwóch długości krawędzi podstawy. Oblicz długość odcinka KI, korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym
. Potem skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa i uzależnij e od H. Oblicz długość CK na dwa sposoby, wykorzystując twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie cosinusów
. Stwórz równanie z obliczonych wartości, podstaw do niego wyznaczone e i oblicz H. Na koniec podstaw wszystkie dane do wzoru na objętość graniastosłupa. Zwróć uwagę na to, że kąt α musi być większy od zera, ponieważ w innym przypadku nie istniałby trójkąt CFK. Rozwiąż nierówność
i zdefiniuj dziedzinę α.
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143