Mając dany ostrosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny oraz wiedząc, że kąt, który tworzą sąsiednie krawędzie boczne, wynosi 2α, 0° < α < 60°, a dystans pomiędzy wierzchołkiem, a sąsiednią krawędzią boczną wynosi d, określ objętość bryły.
Stwórz rysunek pomocniczy, H to wysokość ostrosłupa, d to odległość wierzchołka od krawędzi bocznej, a to krawędź podstawy, 2α to kąt podany w poleceniu:
Trójkąt ABD jest równoramienny, więc kąt ABD ma miarę:
Oblicz długość a, wykorzystując zależności trygonometryczne w trójkącie ABF:
Oblicz długość odcinka AD, wykorzystując zależności trygonometryczne w trójkącie ADF:
Wykorzystaj wzór na sinus podwojonego kąta:
Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w stosunku 2 : 1. Oblicz długość AE, korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym:
Oblicz H wykorzystując twierdzenie Pitagorasa:
Oblicz objętość, korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:
Wykorzystaj wzór na jedynkę trygonometryczna oraz sinus podwojonego kąta:
Wykorzystaj dwa razy wzór na cosinus podwojonego kąta:
Stwórz rysunek pomocniczy. Oblicz miarę kąta ABD, korzystając z faktu, że trójkąt ABD jest równoramienny. Następnie wykorzystaj zależności trygonometryczne w trójkącie ACF, aby obliczyć krawędź podstawy. Zauważ, że możesz wykorzystać wzór redukcyjny
. Potem wykorzystaj zależności trygonometryczne w trójkącie ADF, aby obliczyć długość krawędzi bocznej. Skorzystaj ze wzoru na sinus podwojonego kąta
, aby rozłożyć obliczoną wartość. Oblicz długość odcinka AE, wykorzystaj fakt, że wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku 2 : 1 oraz użyj wzoru
. Wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa do obliczenia wysokości ostrosłupa. Na koniec podstaw obliczone dane do wzoru na objętość i uprość wynik. Przy upraszczaniu wykorzystaj wzór na jedynkę trygonometryczną
oraz wzór na cosinus podwojonego kąta
.
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143