Udowodnij, że odcinek SO jest prostopadły względem płaszczyzny (ABC), wiedząc, że odcinek AB jest najdłuższym bokiem trójkąta prostokątnego ABC, punkt O zawiera się w AB, |AO| = |OB|, punkt S znajduje się w przestrzeni i nie jest współpłaszczyznowy z A, B i C oraz |AS| = |SB| = |SC|.
Stwórz rysunek pomocniczy do zadania:
Zauważ, że na podstawie można opisać okrąg, a przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu, więc odcinki AO, BO oraz CO są takie same:
Oznacza to, że trójkąty AOS, BOS, COS są przystające z cechy BBB, ponieważ |AS| = |SB| = |SC|, |AO| = |BO| = |CO| oraz mają wspólny bok SO.
Zauważ, że odcinek SO w trójkącie równoramiennym ABS, opada na podstawę AB i dzieli ją na pół. Oznacza to, że jest wysokością tego trójkąta, gdyż w trójkącie równoramiennym tylko wysokość poprowadzona na podstawę dzieli ją na pół.
Wynika z tego, że odcinek SO jest prostopadły do AB oraz odcinek OC jest także prostopadły do SO, co oznacza, że odcinek SO jest prostopadły do dwóch odcinków zawartych w płaszczyźnie (ABC), a więc jest prostopadły do tej płaszczyzny.
Co kończy dowód.
Pamiętaj, że na każdym trójkącie można opisać okrąg. Zauważ, że jeśli na trójkącie ABC opiszemy okrąg, to jego średnicą będzie odcinek AB. Oznacza to, że odcinki AO, BO oraz CO będą jego promieniami, czyli będą sobie równe. Z tego też wyniknie, że skoro |AS| = |SB| = |SC|, |AO| = |BO| = |CO| to trójkąty AOS, BOS, COS są przystające.
Trójkąt ABS jest trójkątem równoramiennym o ramionach AS i BS, stąd wynika, że odcinek SO jest wysokością tego trójkąta, ponieważ w trójkącie równoramiennym, jeśli odcinek opuszczony z wierzchołka naprzeciw podstawy, dzieli tę podstawę na pół, to musi on być wysokością.
A skoro jest wysokością i trójkąty AOS, BOS, COS są przystające, to odcinek SO jest prostopadły do odcinków AB oraz CO.
Do udowodnienia prostopadłości pomiędzy płaszczyzną (ABC) a odcinkiem SO wykorzystaj twierdzenie mówiące, że odcinek jest prostopadły do płaszczyzny, wtedy gdy, jest prostopadły do dwóch odcinków zawartych w płaszczyźnie oraz przebija ją w miejscu przecięcia tych dwóch odcinków.
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143