Mając dany ostrosłup prosty, którego podstawą jest ośmiokąt foremny oraz wiedząc, że kąt stworzony przez krawędź boczną i podstawę wynosi 30°, a krawędź boczna jest równa 10 cm, określ jego objętość.
Stwórz rysunek pomocniczy, gdzie H to wysokość ostrosłupa, α to podany kąt, a to długość krawędzi podstawy, h to wysokość każdego trójkąta zawartego w podstawie:
Trójkąt GHI to trójkąt prostokątny 30°, 60°, 90°. Oblicz H oraz długość odcinka DI:
Oblicz miarę kąta AIB:
Zauważ, że odcinki AI oraz BI są takie same jak DI.
Wykorzystaj twierdzenie cosinusów w trójkącie równoramiennym ABI, aby obliczyć długość krawędzi podstawy a:
Oblicz wysokość trójkąta AIB:
Oblicz pole podstawy:
Wykorzystaj wzór skróconego mnożenia:
Oblicz objętość:
Stwórz rysunek pomocniczy. Zauważ, że podstawa składa się z ośmiu przystających trójkątów równoramiennych. Dodatkowo trójkąt GHI to trójkąt prostokątny 30°, 60°, 90°, dzięki temu możesz obliczyć długość ramion trójkątów zawartych w podstawie oraz długość wysokości. Zauważ, że skoro podany ośmiokąt jest foremny to możesz obliczyć kąt pomiędzy ramionami trójkątów, korzystając ze wzoru
, gdzie n to ilość wierzchołków danego wielokąta foremnego. Następnie skorzystaj z twierdzenia cosinusów
, aby wyznaczyć a. Potem oblicz wysokość dowolnego z trójkątów w podstawie, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Oblicz pole podstawy. W trakcie liczenia wykorzystaj wzór skróconego mnożenia
. Na koniec oblicz objętość tego ostrosłupa.
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143