Dany jest pewien ostrosłup prawidłowy trójkątny. Miara kąta między ścianami bocznymi bryły wynosi α, natomiast miara kąta między krawędziami bocznymi ostrosłupa wynosi β. Udowodnij, że zachodzi relacja:
.
Z:
α – kąt dwuścienny między płaszczyznami sąsiadujących ścian bocznych ostrosłupa prawidłowego trójkątnego,
β – kąt płaski między krawędziami bocznymi ostrosłupa prawidłowego trójkątnego.
T:
Zachodzi równość:
.
D:
Naszkicuj sytuację przedstawioną w treści zadania:
Wyznacz przedziały wartości, do jakich należą kąty: α i β:
Dla kąta 60° między ścianami bocznymi ostrosłupa staje się on graniastosłupem, natomiast dla kąta 180° płaszczyzny ścian bocznych oraz podstawy pokrywają się. Czyli:
Dla kąta 0° ostrosłup dąży do bycia graniastosłupem (krawędzie boczne dążą do równoległości). Dla kąta 120° ściana boczna pokrywa się z trójkątem utworzonym przez krawędź podstawy i spodek wysokości. Czyli:
Opisz długość krawędzi podstawy 𝑎 za pomocą twierdzenia cosinusów:
Wykorzystaj fakt, że wysokości ścian tworzą kąt dwuścienny i wyznacz wysokość h za pomocą definicji funkcji trygonometrycznych:
Opisz ponownie długość krawędzi podstawy 𝑎, tym razem względem kąta α:
Przyrównaj prawe strony równań:
Dla miar kąta β z wyznaczonej dziedziny
wartości funkcji trygonometrycznych:
oraz
przyjmują tylko wartości dodatnie, zatem:
Opisz wartości, jakie mogą przyjąć kąty α i β zadane w treści zadania. Oznacz długości odpowiednich krawędzi, a następnie ułóż równanie długości krawędzi podstawy za pomocą twierdzenia cosinusów. Uprość wynikowe równanie, korzystając z tożsamości trygonometrycznych:
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143