Wiedząc, że przekątne ściany ADD1A sześcianu ABCDA1B1C1D1 przecinają się w punkcie O oraz |AE| = |EB|, określ czy prosta OB1 jest prostopadła do prostej EC. Wyjaśnij swoją decyzję.
Stwórz rzut prostokątny prostej OB1 na płaszczyznę (ABCD). Początek będzie mieć w punkcie B, a koniec w środku odcinka AD. Nazwij go jako F.
Zauważ, że trójkąty ABF oraz BCE są prostokątne oraz ich przyprostokątne mają takie same długości. Oznacza to, że ich przeciwprostokątne też mają taką samą długość, a więc trójkąty ABF i BCE są podobne z cechy BBB.
Oznacz podane kąty:
Zauważ, że:
Przecięcie odcinków BF oraz CE oznacz przez G.
Zauważ, że dwa kąty trójkąta EBG przy wierzchołkach B, E mają kolejno miary α, β oznacza to, że kąt przy wierzchołku G ma miarę 90°, czyli odcinki CE oraz BF są prostopadłe.
Z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych wynika, że jeśli rzut prostopadły prostej k jest prostopadły do innej prostej m, to ta prosta k jest prostopadła do prostej m.
Podane proste są prostopadłe.
Co kończy dowód.
Zacznij od narysowania rzutu prostopadłego prostej OB1. Następnie zauważ, że ten rzut przecina krawędź AD w połowie długości i oznacz to miejsce przez F, a więc trójkąty ABF oraz BCE są podobne z cechy BBB. Potem oznacz takie same kąty w obydwu tych trójkątach przez α i β, a przecięcie BF oraz CE oznacz literą G. Zauważ, Zauważ, że trójkąt BEG ma kąty α i β, a więc trzeci kąt przy wierzchołku G musi mieć miarę 90°, co oznacza, że odcinki BF oraz GC są prostopadłe. Wykorzystaj twierdzenie o trzech prostych prostopadłych mówiące, że jak rzut prostopadły prostej k jest prostopadły do pewnej prostej m to prosta k też musi być prostopadła do prostej m. W tym przypadku prostą k jest odcinek OB1, jego rzutem jest odcinek BF, a rolę prostej m odgrywa odcinek CE. Odcinki CE oraz BF są prostopadłe do siebie, ponieważ to wykazałeś, dlatego odcinek OB1 też jest prostopadły do CE.
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143