Mając dany ostrosłup prosty, którego podstawą jest trójkąt równoboczny, w który wpisano okrąg o promieniu r oraz wiedząc, że kąt, który tworzy krawędź boczna i krawędź podstawy, jest równy α, określ objętość bryły oraz α, dla których to zadanie jest rozwiązywalne.
Stwórz rysunek pomocniczy, gdzie H to wysokość ostrosłupa, r to promień okręgu wpisanego, a to krawędź podstawy, h to wysokość ściany bocznej, α to kąt podany w poleceniu:
Wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w stosunku 2 : 1. Oblicz AF:
Oblicz a, korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym:
Trójkąt BCD jest równoramienny. Skorzystaj z zależności trygonometrycznych w trójkącie BDF i oblicz h:
Oblicz H, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
Oblicz objętość, skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:
Kąt α na pewno musi być mniejszy od 90°.
Oblicz dziedzinę α:
Druga nierówność jest niepoprawna, ponieważ w naszym przypadku kąt nie może być ujemny.
Odpowiedź:
Stwórz rysunek pomocniczy. Zwróć uwagę na to, że wysokości w trójkącie równobocznym przecinają się w stosunku 2 : 1 , a więc możesz obliczyć długości odcinka AF. Następnie skorzystaj ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym
i oblicz a. Potem skorzystaj z zależności trygonometrycznych w trójkącie BDF, aby wyznaczyć długość h. Wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa i oblicz długość H. Na koniec podstaw wszystkie dane do wzoru na objętość ostrosłupa. Zwróć uwagę na to, że kąt α musi być większy od zera, ponieważ w innym przypadku nie istniałby trójkąt BCD. Rozwiąż nierówność
i zdefiniuj dziedzinę α.
Zadanie 5.1.
111Zadanie 5.2.
111Zadanie 5.4.
111Zadanie 5.5.
111Zadanie 5.6.
112Zadanie 5.7.
112Zadanie 5.8.
112Zadanie 5.37.
117Zadanie 5.39.
117Zadanie 5.41.
118Zadanie 5.42.
118Zadanie 5.43.
118Zadanie 5.46.
119Zadanie 5.49.
119Zadanie 5.50.
119Zadanie 5.51.
119Zadanie 5.54.
120Zadanie 5.60.
121Zadanie 5.62.
121Zadanie 5.63.
121Zadanie 5.64.
121Zadanie 5.65.
121Zadanie 5.67.
122Zadanie 5.69.
122Zadanie 5.70.
122Zadanie 5.71.
122Zadanie 5.72.
122Zadanie 5.73.
122Zadanie 5.74.
122Zadanie 5.75.
123Zadanie 5.76.
123Zadanie 5.77.
123Zadanie 5.78.
123Zadanie 5.79.
123Zadanie 5.80.
123Zadanie 5.81.
123Zadanie 5.82.
124Zadanie 5.83.
124Zadanie 5.84.
124Zadanie 5.85.
124Zadanie 5.86.
124Zadanie 5.87.
125Zadanie 5.88.
125Zadanie 5.91.
125Zadanie 5.92.
125Zadanie 5.93.
126Zadanie 5.95.
126Zadanie 5.96.
126Zadanie 5.97.
126Zadanie 5.98.
127Zadanie 5.110.
128Zadanie 5.112.
128Zadanie 5.121.
129Zadanie 5.126.
130Zadanie 5.133.
131Zadanie 5.134.
131Zadanie 5.136.
131Zadanie 5.141.
132Zadanie 5.144.
132Zadanie 5.145.
132Zadanie 5.148.
133Zadanie 5.155.
134Zadanie 5.156.
134Zadanie 5.157.
134Zadanie 5.158.
135Zadanie 5.159.
135Zadanie 5.160.
135Zadanie 5.170.
136Zadanie 5.172.
137Zadanie 5.185.
138Zadanie 18.
141Zadanie 19.
141Zadanie 20.
141Zadanie 21.
141Zadanie 24.
142Zadanie 25.
142Zadanie 27.
142Zadanie 29.
142Zadanie 30.
143Zadanie 32.
143