W tym zadaniu musisz udowodnić, że okrąg zadany równaniem (x + 1)² + y² = 10 styka się z prostą zadaną równaniem x + 3y – 9 =0 oraz znaleźć ich punkt styczności.

Jeśli podane prosta i okrąg są ze sobą styczne, to jest dokładnie jedno rozwiązanie układu równań składającego się z równań tych prostej i okręgu.

$\text{[math]}$

Ten układ równań ma jedno rozwiązanie, więc prosta jest styczna do okręgu. Współrzędne punktu styczności to (0, 3).

Jeśli podane prosta i okrąg są ze sobą styczne, to jest dokładnie jedno rozwiązanie układu równań składającego się z równań tych prostej i okręgu. Rozwiązując taki układ równań otrzymasz od razu punkt styczności.

$\text{[math]}$

Aby rozwiązać ten układ równań skorzystaj z metody podstawiania. Wyznacz z pierwszego równania x i podstaw do drugiego równania (oczywiście możesz wyznaczyć y, ale zauważ, że wtedy dostaniesz ułamki które utrudnią obliczenia. Mógłbyś także wyznaczyć zmienną z pierwszego równania, jednakże to by wiązało się z pojawieniem się pierwiastków oraz rozważaniem różnych przypadków).

$\text{[math]}$

Z drugiego równania otrzymałeś równanie kwadratowe jednej zmiennej. Zastosuj wzór skróconego mnożenia do nawiasu, jednakże najpierw uprość wyrażenie w nawiasie i zamień kolejność składników.

$\text{[math]}$

Przenieś wszystkie składniki na jedną stronę

$\text{[math]}$

Zauważ, że możesz podzielić obie strony przez 10, aby uzyskać mniejsze liczby.

$\text{[math]}$

Zauważ, że lewą stronę możesz zwinąć do wzoru skróconego mnożenia. (Jeślibyś tego nie zauważył i liczyłbyś deltę to i tak doszedłbyś do rozwiązania, tylko dłuższą drogą)

Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 18. - strona 131

Zadanie

W tym zadaniu musisz udowodnić, że okrąg zadany równaniem (x + 1)2 + y2 = 10 styka się z prostą zadaną równaniem x + 3y – 9 =0 oraz znaleźć ich punkt styczności.

Rozwiązanie

Wyjaśnienie

Matematyka - wybrane pytania

W tym zadaniu musisz udowodnić, że okrąg zadany równaniem (x + 1)² + y² = 10 styka się z prostą zadaną równaniem x + 3y – 9 =0 oraz znaleźć ich punkt styczności.