W tym zadaniu należy określić masę dosypanego piasku do sterty piachu, którego gęstość wynosi 1500 kg/m3, zaś sterta ma masę 2t i jest kształtu stożka takiego, że kąt nachylenia tworzącej do podstawy ma miarę 30°. Sterta zwiększyła swą wysokość o 10 cm, gdy dosypano piasek, zaś kąt tworzącej do podstawy nie uległ zmianie.
Wzór na gęstość ma postać:
Gdzie d – gęstość, m – masa zaś V to objętość.
2 t = 2000 kg
Niech promień stożka będącego górą piasku to r1.
Promień, wysokość oraz tworząca tworzą trójkąt prostokątny, w którym kąt między tworzącą a promieniem wynosi 30°. Ponieważ promień i wysokość są przyprostokątnymi w tym trójkącie, a naprzeciw kąta 30° znajduje się wysokość to:
Po dosypaniu piasku wysokość zwiększyła się o 10 cm, więc wynosiła w przybliżeniu 85,2 cm. Ponieważ kąt między tworzącą a podstawą się nie zmienił, to do obliczenia objętości hałdy po dosypaniu piachu można użyć tego samego wzoru na objętość stożka co wcześniej.
Do sterty dosypano:
W pierwszej kolejności określ wymiary początkowej hałdy piachu. W tym celu wyznacz objętość góry, zaś do tego celu użyj wzoru na gęstość, który ma postać:
Gdzie d – gęstość, m – masa zaś V to objętość. Zamień 2 t na kilogramy. Będzie to 2000 kg.
Jeżeli promień góry oznaczysz jako r1, to pole powierzchni podstawy tego stożka wynosi:
Aby obliczyć wysokość skorzystaj z informacji na temat kąta nachylenia tworzącej do podstawy. Zauważ, że promień, wysokość oraz tworząca tworzą trójkąt prostokątny, w którym kąt między tworzącą a promieniem wynosi 30°. Ponieważ promień i wysokość są przyprostokątnymi w tym trójkącie, a naprzeciw kąta 30° znajduje się wysokość to możesz zapisać zależność między nimi jako:
Odczytaj wartość tangensa 30° z odpowiednich tablic.
Wyznacz z tego równania r1 w zależności od H1. Najpierw przemnóż przez r1 obie strony.
A następnie podziel obie strony przez współczynnik przy r1. Pamiętaj, że dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność. Ponieważ po odwróceniu tego ułamka dostaniesz w mianowniku pierwiastek musisz się go pozbyć przez przemnożenie licznika i mianownika przez ten pierwiastek.
Podstawiając za r1 otrzymaną zależność otrzymasz wzór na objętość tej góry w zależności od wysokości.
Przyrównując wyznaczoną objętość stożka, do wzoru otrzymasz początkową wysokość sterty.
Po dosypaniu piasku wysokość zwiększyła się o 10 cm, więc wynosiła w przybliżeniu 85,2 cm. Ponieważ kąt między tworzącą a podstawą się nie zmienił, to do obliczenia objętości hałdy po dosypaniu piachu można użyć tego samego wzoru na objętość stożka co wyprowadziłeś wcześniej. Podstaw wysokość w metrach, aby uzyskać od razu wynik w m3.
Teraz musisz obliczyć, ile ważyła sterta po dosypaniu piachu. W tym celu skorzystaj ponownie ze wzoru na gęstość.
Aby obliczyć, ile piachu dosypano odejmij masę początkową od masy końcowej.
Zadanie 16.
89Zadanie 17.
90Zadanie 18.
90Zadanie 25.
98Zadanie 27.
98Zadanie 16.
103Zadanie 17.
103Zadanie 19.
103Zadanie 14.
111Zadanie 13.
114Zadanie 14.
114Zadanie 21.
131Zadanie 23.
137Zadanie 28.
138Zadanie 20.
142Zadanie 23.
148