W tym zadaniu musisz określić ilość liczb pięciocyfrowych które dzielą się przez 5 i w których zapisie znajdują się dokładnie dwie cyfry 5.

Liczba podzielna przez 5, gdy ostatnia cyfra to 0 lub 5.

Przypadki, że ostatnia cyfra to 0:

Liczba dziesiątek tysięcy to 5: 3 ∙ (1 ∙ 1 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 1) = 243

Liczba tysięcy to 5: 2 ∙ (8 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 9 ∙ 1) = 144

Liczba setek to 5:8 ∙ 9 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1 = 72

Przypadki, że ostatnia cyfra to 5:

Liczba dziesiątek tysięcy to 5: 1 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 1 = 729

5 stoi na innej pozycji: 3 ∙ (8 ∙ 1 ∙ 9 ∙ 9 ∙ 1) = 1 944

Łącznie takich liczb jest: 243 + 144 + 72 + 729 + 1944 = 3132

Musisz rozważyć tutaj przypadki. Przede wszystkim przypomnij sobie, kiedy liczba dzieli się przez 5. Dzieje się to wtedy, gdy ostatnią cyfrą tej liczby jest 0 lub 5. Osobno musisz rozważyć liczby kończące się na 0, a osobno te które kończą się na 5. Jeśli liczba kończy się na 0, to na pozycji jednostek nie możesz wybrać już inne cyfry. Więc dwie piątki w tej liczbie możesz rozmieścić na pozostałych pozycjach. Najpierw rozważ sytuacje w których jedna 5 stoi na pozycji dziesiątek tysięcy. Druga piątka może wtedy stać albo na pozycji tysięcy, albo setek, albo dziesiątek co daje 3 równoliczne przypadki. Na pozostałych pozycjach mogą stać wszystkie pozostałe cyfry co daje 9 możliwości. Gdy 5 stoi na pozycji tysięcy to sytuacji nie rozważonych wcześniej są 2: albo druga 5 stoi na pozycji setek, albo dziesiątek. Na pozostałych pozycjach mogą stać dowolne pozostałe cyfry (9 możliwości) ale na pozycji dziesiątek tysięcy nie może stać 0 (gdyż liczba nie będzie wtedy pięciocyfrowa) więc z tej pozycji musisz z możliwości wyboru odrzucić jeszcze 0. Pozostał ostatni przypadek w tej grupie przypadków mianowicie kiedy 5 stoi na pozycji setek i dziesiątek. Na pozostałych miejscach jest podobnie jak wcześniej. Dalej musisz rozważyć sytuacje w których na pozycji jednostek stoi jedna 5. Wtedy są 4 przypadki położenia drugiej 5. Jednym z nich jest sytuacja, gdy 5 stoi na pozycji dziesiątek tysięcy. Wtedy na pozostałych pozycjach mogą stać dowolne pozostałe cyfry, co daje po 9 możliwości. Podobnie jest w pozostałych 3 przypadkach, jednak musisz w nich uwzględnić, że na pozycji dziesiątek tysięcy nie może stać 0. W celu uzyskania ilości szukanych liczb musisz skorzystać z zasady mnożenia oraz zasady dodawania i pomnożyć ilości sposobów wyboru znaków na każdym miejscu w każdym przypadku przez siebie, a następnie dodać wszystkie przypadki. Dla ułatwienia sobie rachunków przypadki które są tak samo liczne przemnóż przez ich ilość zamiast je dodawać.

Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 21. - strona 142

Zadanie

W tym zadaniu musisz określić ilość liczb pięciocyfrowych które dzielą się przez 5 i w których zapisie znajdują się dokładnie dwie cyfry 5.

Rozwiązanie

Wyjaśnienie

Matematyka - wybrane pytania