W tym zadaniu musisz uzasadnić, że dokładniej w tej kolejności liczby $\text{[math]}$ stanowią ciąg geometryczny. Musisz także sprawdzić, czy iloraz tego ciągu jest większy od 3.

Aby udowodnić, że podane liczby stanowią ciąg geometryczny wystarczy pokazać, że spełniają własność dotyczącą trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego:

$\text{[math]}$

Więc podstawione liczby spełniają wyjściową zależność. Oznacza to, że te liczby są kolejnymi elementami ciągu geometrycznego, co należało wykazać.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ , więc

$\text{[math]}$

Odp.: Tak, iloraz tego ciągu jest większy od 3.

Aby udowodnić, że podane liczby stanowią ciąg geometryczny wystarczy pokazać, że spełniają własność dotyczącą trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego:

$\text{[math]}$

Oczywiście liczbą o indeksie n, będzie środkowa z podanych liczb, czyli 9, zaś odpowiednio pierwsza będzie liczbą o indeksie n-1, zaś trzecia – o indeksie n+1. Podstaw te liczby pod wyżej wspomnianą własność:

$\text{[math]}$

Oblicz, ile wynosi lewa strona.

$\text{[math]}$

Teraz musisz wyliczyć, ile wynosi prawa strona:

$\text{[math]}$

Aby obliczyć to wyrażenie potrzebujesz sprowadzić wszystkie składniki do tej samej podstawy. Łatwiej będzie przekształcić podstawę $\text{[math]}$ do podstawy 3. Ponieważ, będziesz przekształcać tylko jeden składnik, możesz go zapisać osobno, by nie przepisywać całego równania, gdyż pozostały składnik nie będzie się zmieniał. A gdy już dotrzesz do najprostszej postaci, to podstaw go do głównego wzoru. Zapisz pierwiastek z 3 jako $\text{[math]}$ , a następnie skorzystaj z własności potęgi, czyli wymnóż wykładniki.

$\text{[math]}$

Teraz skorzystaj z własności mnożenia potęg o tych samych podstawach, czyli dodaj wykładniki:

$\text{[math]}$

Prawa strona wynosi tyle samo co lewa, co oznacza, że podstawione liczby spełniają wyjściową zależność. To z kolei oznacza, że te liczby są kolejnymi elementami ciągu geometrycznego, co należało wykazać.

Ponieważ kolejne wyrazy ciągu geometrycznego powstają przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz, to aby obliczyć iloraz, wystarczy podzielić wyraz kolejnym przez poprzedni. Możesz podzielić wyraz drugi przez pierwszy lub trzeci przez drugi.

$\text{[math]}$

Aby określić, czy iloraz jest większy od 3, sprowadźmy to wyrażenie do postaci potęgi 3

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ jest większy od 1 (ok 1,73). A podniesienie liczby większej od 1 (jaką jest 3) do potęgi większej od 1 (czyli $\text{[math]}$ ), powoduje otrzymanie liczby większej od tej którą podnosiliśmy. Więc:

Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 21. - strona 98

Zadanie

W tym zadaniu musisz uzasadnić, że dokładniej w tej kolejności liczby stanowią ciąg geometryczny. Musisz także sprawdzić, czy iloraz tego ciągu jest większy od 3.

Rozwiązanie

Wyjaśnienie

Matematyka - wybrane pytania

W tym zadaniu musisz uzasadnić, że dokładniej w tej kolejności liczby $\text{[math]}$ stanowią ciąg geometryczny. Musisz także sprawdzić, czy iloraz tego ciągu jest większy od 3.