W tym zadaniu musisz wyznaczyć wartość największego kąta czworokąta narysowanego na poniższej ilustracji.
Jedna z zaznaczonych przekątnych tego czworokąta przechodzi przez środek okręgu. Oznacza to, że trójkąty składające się z tej przekątnej i dwóch boków czworokąta są prostokątne, a więc dwa kąty tego czworokąta będą miały miarę 90°. Na jeden z tych kątów prostych składa się zaznaczony kąt 40°. Kąt, który znajduje się po drugiej stronie przekątnej ma miarę 50°.
Trzeci kąt w trójkącie z zaznaczonymi kątami 40° i 35° ma miarę 180° – 40° – 35° = 105°. Kąt w lewym trójkącie tworzy z tym kątem kąty przyległe i ma miarę 180° – 105° = 75°.
W lewym trójkącie trzeci kąt ma miarę 180° – 50° – 75° = 55°.
Dorysowując promienie wychodzące ze środka do wierzchołków z kątami prostymi powstaną trójkąty równoramienne. Kąt 55° jest kątem między ramieniem a podstawą trójkąta równoramiennego, więc taką samą wartość ma kąt „przy kącie prostym”. Analogicznie dla drugiego kąta o mierze 35° i dla kąta „przy kącie prostym po drugiej stronie promienia”. Kąt „w klinie” między przekątnymi czworokąta a zaznaczonymi promieniami to różnica między kątem 55° a kątem 50°, czyli 5°. „Klin” jest częścią trójkąta równoramiennego, którego ramionami są promienie wychodzące ze środka do wierzchołków zawierających kąty proste, zaś jego podstawą jest przekątna czworokąta. Drugi kąt przy podstawie będzie miał także miarę 5°, zaś kąt między ramionami będzie miał miarę 180° – 5° – 5° = 170°. Z kolei kąt „po przeciwnej stronie środka” tworzy z tym kątem kąt pełny, więc jego miara wynosi 360° – 170° = 190°.
Kąt 190° jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt oznaczony na rysunku jako α. Oznacza to, że miara kąta α to połowa ze 190°, czyli 95°. Kąt α jest trzecim kątem tego czworokąta.
Ponieważ, wszystkie kąty w czworokącie muszą dawać łącznie 360° to miara ostatniego kąta wynosi 360° – 90° – 90° – 95° = 85°.
Więc miara największego kąta w tym czworokącie wynosi 95°.
Odpowiedź: B. 95°
Zauważ, że jedna z zaznaczonych przekątnych tego czworokąta przechodzi przez środek okręgu. Oznacza to, że trójkąty składające się z tej przekątne i dwóch boków czworokąta są prostokątne, a więc dwa kąty tego czworokąta będą miały miarę 90°. Na jeden z tych kątów prostych składa się zaznaczony kąt 40°. Kąt, który znajduje się po drugiej stronie przekątnej musi mieć więc miarę 50°.
Kąty w trójkącie muszą dawać w sumie 180°. Oznacza to, że trzeci kąt w trójkącie z zaznaczonymi kątami 40° i 35° musi mieć miarę 180° – 40° – 35° = 105°. Kąt w lewym trójkącie tworzy z tym kątem kąty przyległe i musi mieć on miarę 180° – 105° = 75°.
W lewym trójkącie znasz już kąty 50° oraz 75°. Więc trzeci kąt musi mieć miarę 180° – 50° – 75° = 55°.
W kolejnym etapie dorysuj promienie wychodzące ze środka do wierzchołków z kątami prostymi. Otrzymasz w ten sposób trójkąty równoramienne. Kąty między ramionami trójkąta równoramiennego, a jego podstawą są sobie równe, więc znając wartość jednego z tych kątów, znasz równocześnie wartość drugiego tego kąta. Zauważ, że jednym z takich kątów jest kąt 55°, więc taką wartość możesz przypisać kątowi „przy kącie prostym”, a drugim takim kątem jest 35° i tę wartość przypisać możesz kątowi „przy kącie prostym po drugiej stronie promienia”. Kąt „w klinie” między przekątnymi czworokąta a zaznaczonymi promieniami to różnica między kątem 55° a kątem 50°, czyli 5°. Zauważ, że „klin” jest częścią trójkąta równoramiennego, którego ramionami są promienie wychodzące ze środka do wierzchołków zawierających kąty proste, zaś jego podstawą jest przekątna czworokąta. Drugi kąt przy podstawie będzie miał także miarę 5°, zaś kąt między ramionami będzie miał miarę 180° – 5° – 5° = 170°. Z kolei kąt „po przeciwnej stronie środka” tworzy z tym kątem kąt pełny, więc jego miara wynosi 360° – 170° = 190°.
Zauważ, że kąt 190° jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku co kąt oznaczony na rysunku jako α. Oznacza to, że miara kąta α to połowa ze 190°, czyli 95°. Oczywiście kąt α jest trzecim kątem tego czworokąta.
Ponieważ, wszystkie kąty w czworokącie muszą dawać łącznie 360° to miara ostatniego kąta wynosi 360° – 90° – 90° – 95° = 85°.
Więc miara największego kąta w tym czworokącie wynosi 95°.
Zadanie 16.
89Zadanie 17.
90Zadanie 18.
90Zadanie 25.
98Zadanie 27.
98Zadanie 16.
103Zadanie 17.
103Zadanie 19.
103Zadanie 14.
111Zadanie 13.
114Zadanie 14.
114Zadanie 21.
131Zadanie 23.
137Zadanie 28.
138Zadanie 20.
142Zadanie 23.
148