W tym zadaniu musisz obliczyć, ile wynoszą optymalne wymiary uchwytu do szuflady (tzn takie, że pole prostokąta tworzonego przez uchwyt oraz ściankę szuflady jest jak największe), jeśli drut, który będzie widoczny jest długi na 20 cm. Nie uwzględniaj tutaj grubości drutu.
a – szerokość uchwytu
b – odległość uchwytu od ścianki szuflady
l = a + 2b – długość widocznej części drutu = 20 cm
Pole prostokąta ograniczonego rączką oraz ścianką wyraża się wzorem:
Funkcja kwadratowa, o miejscach zerowych x = 0 i x = 10. Współczynnik a ujemny, więc osiąga wartość największą w wierzchołku paraboli będącej wykresem tej funkcji.
Odp.: Optymalne wymiary rączki to 10 cm x 5 cm.
W pierwszej kolejności wypisz co wiesz na temat rączki do szuflady. Oznacz jako a jej szerokość, zaś jako b – odległość od szafki. Wtedy długość widocznej części wyraża się wzorem:
Gdzie l to długość widocznej części drutu. Jednak w treści zadania jest podane, ile l wynosi i jest to 20 cm. Więc ten wzór możesz zapisać:
A następnie wyznacz z niego a w zależności od b, przez przeniesienie b na drugą stronę:
Pole prostokąta ograniczonego rączką oraz ścianką wyraża się wzorem:
Ale ponieważ, wyprowadziłeś wzór na a w zależności od b, to podstawiając za a otrzymasz zależność pola od odległości od ścianki.
Zauważ, że jest to prawie postać iloczynowa funkcji kwadratowej. Aby w pełni była to ta postać, w żadnym nawiasie przy b nie mogą stać żadne liczby ani minusy (współczynnik przy b musi być równy 1). Aby to uzyskać musisz z pierwszego nawiasu wyciągnąć przed niego to, co stoi przy b, a więc -2. Robisz to dzieląc każdy składnik w nawiasie przez -2.
Oczywiście w pierwszym nawiasie możesz zmienić kolejność i napisać (b – 10), skąd wprost możesz odczytać jedno miejsce zerowe tej funkcji kwadratowej, czyli 10 (pamiętaj by przy odczycie miejsc zerowych z postaci iloczynowej zmienić znak na przeciwny). Z kolei, jeśli drugie b nie jest w żadnym nawiasie, to można je zapisać jako (b – 0), więc drugim miejscem zerowym jest 0 (ewentualnie można na to spojrzeć tak, że ta funkcja się zeruje dla b = 0)
Wyraziłeś pole rozważanego prostokąta jako funkcję kwadratową boku b. Ponieważ współczynnik a jest ujemny, to parabola będąca wykresem tej funkcji ma ramiona skierowane w dół, a więc funkcja ta osiąga maksimum w wierzchołku tej paraboli. Więc aby obliczyć dla jakiej długości boku b pole rozważanego prostokąta jest największe, wystarczy, że znajdziesz pierwszą współrzędną wierzchołka, oznaczaną jako p. Ponieważ znasz miejsca zerowe tej funkcji, to możesz wykorzystać wzór, który używa właśnie miejsc zerowych:
Musisz jeszcze obliczyć długość boku a. Robisz to przez podstawienie do wcześniej uzyskanego wzoru otrzymanego wyniku.
Zadanie 16.
89Zadanie 17.
90Zadanie 18.
90Zadanie 25.
98Zadanie 27.
98Zadanie 16.
103Zadanie 17.
103Zadanie 19.
103Zadanie 14.
111Zadanie 13.
114Zadanie 14.
114Zadanie 21.
131Zadanie 23.
137Zadanie 28.
138Zadanie 20.
142Zadanie 23.
148