W tym zadaniu musisz wyznaczyć pierwiastki wielomianu W(x) wiedząc, że jeśli podzielisz ten wielomian przez x + 2 otrzymasz wielomian 2x² + 3x – 4 razem z resztą 5.

$\text{[math]}$

Jednym z pierwiastków tego wielomianu jest -1:

$\text{[math]}$

Oznacza to, że ten wielomian dzieli się bez reszty przez dwumian x + 1. Więc wynikiem dzielenia W(x) przez x + 1 będzie wielomian kwadratowy, którego pierwiastki można łatwo znaleźć

$\text{[math]}$

Więc pierwiastkami wielomianu W(x) są: -1, -3 oraz $\text{[math]}$

W pierwszym kroku musisz wyznaczyć wielomian W(x).

Dzielenie wielomianu W(x) przez x + 2 możesz zapisać jako:

$\text{[math]}$

Możesz to rozumieć, że jeśli pomniejszysz wielomian o resztę, która zostaje z dzielenia (czyli 5) i taki pomniejszony wielomian podzielisz przez x + 2, to otrzymasz dokładnie wielomian 2x² + 3x – 4. Potraktuj ten zapis jako zwykłe równanie, z tą różnicą, że zamiast x jest cały wielomian W(x). Gdyby to byłoby równanie z x to byś przemnożył obie strony przez (x + 2), aby pozbyć się dzielenia po lewej stronie.

$\text{[math]}$

Wymnóż prawą stronę.

$\text{[math]}$

Aby uzyskać wartość wielomianu W(x) wystarczy, że przeniesiesz 5 na prawą stronę.

$\text{[math]}$

Teraz możesz wyznaczyć pierwiastki tego wielomianu. Niestety, żadna z „szybszych” metod tutaj nie ma zastosowania. Jednakże możesz jeszcze zgadnąć pierwiastek. Okazuje się, że dla x = -1 wartość wielomianu wynosi 0, więc to jest pierwiastek.

$\text{[math]}$

Oznacza to, że ten wielomian dzieli się bez reszty przez dwumian x + 1 (pamiętaj, że twierdzenie, które o tym mówi używa dwumianu postaci x – a, ponieważ w tym przypadku a = -1, to będzie dwumian x – (-1) czyli x + 1). Więc wynikiem dzielenia W(x) przez x + 1 będzie wielomian kwadratowy, którego pierwiastki można znaleźć przy użyciu np. Δ. Aby podzielić wielomian W(x) przez x + 1 skorzystaj ze schematu Hornera.

Narysuj tabelę i w pierwszym wierszu wpisz współczynniki przy kolejnych potęgach wielomianu W(x), zaś w pierwszej komórce wiersza drugiego wpisz współczynnik a. W tym przypadku wynosi on -1. Kolejne komórki w drugim wierszu będziesz uzyskiwał, przez przemnożenie poprzedniej komórki w drugim wierszu przez a, a następnie dodanie zawartości komórki w wierszu powyżej. Drugą komórkę w drugim wierszu uzupełniasz przez przepisanie wartości wyżej.

Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 14., c) - strona 111

Zadanie

W tym zadaniu musisz wyznaczyć pierwiastki wielomianu W(x) wiedząc, że jeśli podzielisz ten wielomian przez x + 2 otrzymasz wielomian 2x2 + 3x – 4 razem z resztą 5.

Rozwiązanie

Wyjaśnienie

Matematyka - wybrane pytania

W tym zadaniu musisz wyznaczyć pierwiastki wielomianu W(x) wiedząc, że jeśli podzielisz ten wielomian przez x + 2 otrzymasz wielomian 2x² + 3x – 4 razem z resztą 5.