Oblicz $\text{[math]}$ dla których funkcja $\text{[math]}$ przyjmuje wartości dodatnie.

$\text{[math]}$

Iloczyn dwóch składników jest dodatni, tylko wtedy, gdy albo oba z nich są dodatnie, albo obydwa są ujemne.

$\text{[math]}$

Ten logarytm będzie większy od 0, gdy liczba logarytmowana będzie większa od 1. (log 1 = 0, ale np. log 10 = 1 > 0, z kolei log 0,1 = -1 < 0)

$\text{[math]}$

Zadanie sprowadza się do rozwiązania nierówności:

$\text{[math]}$

W pierwszej kolejności musisz wyznaczyć dziedzinę tej nierówności. Liczba logarytmowana musi być większa od 0, więc:

$\text{[math]}$

Zauważ, że masz tu do czynienia z iloczynem dwóch składników. A iloczyn dwóch składników jest dodatni, tylko wtedy, gdy albo oba z nich są dodatnie, albo obydwa są ujemne. Więc to równanie możesz zapisać jako:

$\text{[math]}$

Oczywiście warto rozważyć oba składniki alternatywy osobno, a następnie zestawić je ze sobą. Ogólnie, najrozsądniej rozważyć każdą nierówność osobno. Zauważ, że w zasadzie te nierówności powtarzają się, różniąc się tylko znakiem, więc rozwiązując jedną nierówność, tak naprawdę bez problemu możesz odczytać nierówność z przeciwnym znakiem.

$\text{[math]}$

Jest to zwyczajna nierówność kwadratowa. Aby ją rozwiązać musisz wyznaczyć jej miejsca zerowe. Zrobisz to używając Δ.

$\text{[math]}$

Mając miejsca zerowe tej funkcji możesz narysować przybliżony wykres. Współczynniki przy najwyższej potędze wynosi -1, więc ramiona paraboli tej funkcji będą skierowane ku dołowi.

Z tego wykresu możesz odczytać, że rozwiązaniem nierówności $\text{[math]}$ jest zbiór $\text{[math]}$ . Z kolei możesz także odczytać, że rozwiązaniem nierówności $\text{[math]}$ jest zbiór $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Dziedziną tej nierówności będzie dziedzina wyznaczona dla głównej nierówności.

Ten logarytm będzie większy od 0, gdy liczba logarytmowana będzie większa od 1. (log 1 = 0, ale np. log 10 = 1 > 0, z kolei log 0,1 = -1 < 0)

Więc ta nierówność sprowadza się do nierówności:

$\text{[math]}$

Pamiętaj o dziedzinie.

$\text{[math]}$

Dla nierówności $\text{[math]}$ postępowanie będzie analogiczne z tym, że liczba logarytmowana ma być mniejsza od 1.

$\text{[math]}$

Pamiętaj o dziedzinie.

$\text{[math]}$

Możesz teraz zapisać pierwszy składnik głównej alternatywy. Bierzesz tutaj wynik obydwu nierówności w których funkcje miały być większe od 0.

$\text{[math]}$

Operator logiczny „i” (koniunkcja) oznacza część wspólną przedziałów. Częścią wspólną tych przedziałów jest:

$\text{[math]}$

Drugi składnik alternatywy zawiera wyniki nierówności w których funkcje miały być mniejsze od 0.

$\text{[math]}$

Podobnie jak wcześniej musisz wziąć część wspólną tych przedziałów a jest nią:

$\text{[math]}$

Alternatywa (spójnik „lub”) łącząca te dwie możliwości oznacza sumę dwóch zbiorów. Więc ostatecznie rozwiązaniem początkowej nierówności będzie zbiór:

Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 15. - strona 114

Zadanie

Oblicz dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Rozwiązanie

Wyjaśnienie

Matematyka - wybrane pytania

Oblicz $\text{[math]}$ dla których funkcja $\text{[math]}$ przyjmuje wartości dodatnie.