W tym zadaniu musisz wyznaczyć jakie pole ma zaznaczony odcinek koła, jeśli promień tego okręgu zawierającego ten odcinek wynosi 4 oraz punkty A i B są punktami styczności tego okręgu do ramion kąta ASB którego wartość wynosi 40°.

O – środek okręgu

Ponieważ ramiona kąta ASB są styczne do okręgu, to kąty między promieniami a ramionami są proste. Suma miar kątów w czworokącie AOBS musi wynosić 360°. Dwa kąty w tym czworokącie mają miarę 90° (te kąt przy punktach styczności), zaś trzeci kąt ma miarę 40° (kąt ASB). Czwarty kąt AOB ma miarę:

$\text{[math]}$

Pole szukanego odcinka koła tworzy wraz z polem trójkąta AOB pole wycinka kołowego.

$\text{[math]}$

Gdzie P_wyck to pole wycinka kołowego, P_AOB to pole trójkąta AOB, zaś P_odck to pole odcinka koła.

$\text{[math]}$

Przerysuj podany rysunek. Zaznacz promienie okręgu łączące środek okręgu z punktami A oraz B. Ponieważ ramiona kąta ASB są styczne do okręgu, to kąty między promieniami a ramionami są proste. Suma miar kątów w czworokącie AOBS musi wynosić 360°. Dwa kąty w tym czworokącie mają miarę 90° (te kąt przy punktach styczności), zaś trzeci kąt ma miarę 40° (kąt ASB). Czwarty kąt AOB ma miarę:

$\text{[math]}$

Pole szukanego odcinka koła tworzy wraz z polem trójkąta AOB pole wycinka kołowego. Możesz to zapisać jako:

$\text{[math]}$

Gdzie P_wyck to pole wycinka kołowego, P_AOB to pole trójkąta AOB, zaś P_odck to pole odcinka koła.

Pole wycinka kołowego wyraża się wzorem:

$\text{[math]}$

Podstawiając za α kąt 140° oraz za r promień podanego okręgu otrzymasz:

$\text{[math]}$

Pole trójkąta AOB możesz obliczyć ze wzoru na pole trójkąta wykorzystującego dwa boki trójkąta i sinus kąta między nimi, który ma postać:

$\text{[math]}$

Podstawiając za boki promień okręgu, a za kąt 140° otrzymasz:

$\text{[math]}$

Zapisz sinus 140° przez sinusa kąta ostrego. Użyj w tym celu wzorów redukcyjnych.

$\text{[math]}$

Oczywiście najpierw musiałeś zapisać 140° jako różnicę 180° i pewnego kąta. Kąt ten musi wynosić 40°. Następnie użyłeś wzoru redukcyjnego.

Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 23. - strona 126

Zadanie

W tym zadaniu musisz wyznaczyć jakie pole ma zaznaczony odcinek koła, jeśli promień tego okręgu zawierającego ten odcinek wynosi 4 oraz punkty A i B są punktami styczności tego okręgu do ramion kąta ASB którego wartość wynosi 40°.

Rozwiązanie

Wyjaśnienie

Matematyka - wybrane pytania