W tym zadaniu musisz obliczyć, o ile procent Marcin musi ograniczyć dzienną ilość jedzonej czekolady, jeśli chce w kolejną niedzielę spożyć mniej niż tabliczkę pierwszy raz. Wiesz, że ostatnio codziennie jadł dwie tabliczki, zaś w ostatnią niedzielę zdecydował, że od kolejnego dnia będzie codziennie jeść o 5% mniej niż poprzedniego dnia. Wynik masz zaokrąglić do pierwszego miejsca po przecinku.

x – ilość procent o ile Marcin będzie ograniczał ilość zjadanej czekolady każdego dnia.

Każdego dnia Marcin jadł o x% czekolady mniej niż dnia poprzedniego. Odpowiada to opisowi ciągu rekurencyjnego o wzorze:

$\text{[math]}$

gdzie a_n to ilość czekolady zjadanej n-tego dnia od podjęcia postanowienia.

(a_n) jest ciągiem geometrycznym, w którym a₁ = 2, zaś $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Ponieważ wyraz pierwszy odpowiada ilości zjadanej czekolady w pierwszą niedzielę, to ilość zjadanej czekolady w kolejną niedzielę, będzie ósmym wyrazem tego ciągu.

$\text{[math]}$

Odp.: Aby osiągnąć cel, Marcin powinien zjadać codziennie o ok. 9,4 % tabliczki mniej niż poprzedniego dnia.

Oznacz przez x ilość procent o ile Marcin będzie ograniczał ilość zjadanej czekolady każdego dnia. Każdego dnia Marcin jadł o x% czekolady mniej niż dnia poprzedniego. Odpowiada to opisowi ciągu rekurencyjnego o wzorze:

$\text{[math]}$

gdzie a_n to ilość czekolady zjadanej n-tego dnia od podjęcia postanowienia.

Zauważ, że jest to zapisany rekurencyjnie ciąg geometryczny o ilorazie wynoszącym $\text{[math]}$ .

Z treści zadania wiesz, że wyraz pierwszy wynosi 2 tabliczki. Mając te informacje możesz zapisać wzór ogólny na n-ty wyraz tego ciągu:

$\text{[math]}$

Ponieważ przyjąłeś, za wyraz pierwszy ilość zjadanej czekolady w poprzednią niedzielę, to ilość czekolady zjadanej w następną niedzielę, odpowiada wyrazowi ósmemu (czyli wliczasz pierwszą niedzielę). Skoro Marcin, chce, aby w niedzielę zjeść mniej niż 1 tabliczkę, to ósmy wyraz tego ciągu musi być mniejszy od 1.

$\text{[math]}$

Podstawiając do wzoru ogólnego n = 8 otrzymasz a₈:

$\text{[math]}$

Podstaw to wyrażenie pod nierówność:

$\text{[math]}$

(Ponieważ mnożysz zaokrąglenie razy 100, czyli będziesz przesuwać przecinek w prawo, to aby po przemnożeniu uzyskać wynik zaokrąglony do pierwszego miejsca po przecinku, wartość pierwiastka musisz zaokrąglić do trzech miejsc po przecinku.)

Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 27., b) - strona 98

Zadanie

Rozwiązanie

Wyjaśnienie

Matematyka - wybrane pytania