W tym zadaniu musisz uzasadnić, że liczby log₂ 10, log₂ 100, log₂ 1000, ... tworzą ciąg arytmetyczny. Musisz także sprawdzić, czy różnica tego ciągu jest większy od 3.

Aby udowodnić, że podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny należy pokazać, że n-ty wyraz tego ciągu można zapisać jako:

$\text{[math]}$

Gdzie oczywiście a₁ = log₂ 10.

Ten ciąg można zapisać jako: log₂ 10, log₂ 10², log₂ 10³, …. Ogólnie, to n-ty wyraz ciągu jest postaci:

$\text{[math]}$

Jest to wzór ogólny ciągu arytmetycznego, gdzie a₁ = r = log₂ 10.

$\text{[math]}$

Więc:

$\text{[math]}$

Odp.: Tak, różnica tego ciągu jest większa od 3.

Aby udowodnić, że podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny musisz pokazać, że n-ty wyraz tego ciągu można zapisać jako:

$\text{[math]}$

Gdzie oczywiście a₁ = log₂ 10.

Zauważ, że ten ciąg, to ciąg logarytmów przy podstawie 2 kolejnych naturalnych potęg 10. A więc ten ciąg możesz zapisać jako: log₂ 10, log₂ 10², log₂ 10³, … . Ogólnie, to n-ty wyraz ciągu jest postaci:

$\text{[math]}$

Skorzystaj tutaj z własności logarytmów dotyczącej logarytmowania potęgi. W takiej sytuacji wykładnik wewnątrz logarytmu można „wyciągnąć” przed logarytm.

$\text{[math]}$

Chcesz zapisać n-ty wyraz jako sumę zawierającą a₁. Pamiętaj, że a₁ wynosi log₂ 10, więc aby to zrobić, wystarczy rozbić ten iloczyn w następujący sposób:

$\text{[math]}$

(Jest to analogiczne do np. 5∙5 = 5 + 4∙5)

Wprost otrzymałeś wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, gdzie a₁ = r = log₂ 10.

Musisz jeszcze oszacować, czy log₂ 10 jest większy, czy mniejszy od 3. Aby to zrobić zapisz 3 przy użyciu logarytmu przy podstawie 2:

$\text{[math]}$

Ponieważ podstawa tego logarytmu jest większa od 1, to nierówności między liczbami logarytmowanymi przechodzą na całe logarytmy. Możesz więc zapisać:

Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 22. - strona 98

Zadanie

W tym zadaniu musisz uzasadnić, że liczby log2 10, log2 100, log2 1000, ... tworzą ciąg arytmetyczny. Musisz także sprawdzić, czy różnica tego ciągu jest większy od 3.

Rozwiązanie

Wyjaśnienie

Matematyka - wybrane pytania

W tym zadaniu musisz uzasadnić, że liczby log₂ 10, log₂ 100, log₂ 1000, ... tworzą ciąg arytmetyczny. Musisz także sprawdzić, czy różnica tego ciągu jest większy od 3.