W tym zadaniu musisz określić, czy w amfiteatrze więcej czy mniej niż połowę stanowią miejsca z droższymi biletami. Wszystkich miejsc jest 1250, pogrupowanych w 25 rzędach. W każdym kolejnym rzędzie ilość miejsc zwiększa się o 3. Każde miejsce w rzędzie jest ponumerowane po kolei liczbami 1, 2, 3 itd. Miejsca w rzędach o I do XVI mają droższe bilety.
Połowa wszystkich miejsc to:
Oznaczając ilość miejsc w n-tym rzędzie przez an, można ją wyliczyć za pomocą wzoru:
Z kolei ilość wszystkich miejsc w amfiteatrze odpowiada sumie pierwszych 25 wyrazów powyższego ciągu arytmetycznego:
Ilość miejsc za droższe bilety, czyli ilość miejsc od I do XVI rzędu, odpowiada sumie pierwszych 16 wyrazów ciągu arytmetycznego.
Oczywiście:
Odp.: Ilość siedzeń za droższe bilety jest mniejsza niż połowa.
Aby określić czy w amfiteatrze więcej czy mniej niż połowę stanowią miejsca z droższymi biletami musisz obliczyć ilość miejsc za droższe bilety, a następnie stwierdzić czy tak otrzymana liczba jest większa czy mniejsza od połowy wszystkich miejsc.
Połowa wszystkich miejsc to:
Ilość miejsc w każdym kolejnym rzędzie zwiększa się o 3. Odpowiada to opisowi ciągu arytmetycznego o różnicy wynoszącej 3. Oznaczając ilość miejsc w n-tym rzędzie przez an, można ją wyliczyć za pomocą wzoru:
Z kolei ilość miejsc od I do XVI rzędu, odpowiada sumie pierwszych 16 wyrazów ciągu arytmetycznego.
Do wyliczenia tej sumy potrzebujesz ilości miejsc w pierwszym rzędzie oraz w szesnastym.
W celu wyliczenia ilości miejsc w pierwszym rzędzie skorzystaj z informacji na temat łącznej ilości miejsc w amfiteatrze. Wiedząc, ile jest rzędów w całym amfiteatrze, możesz wywnioskować, że ilość ta odpowiada sumie pierwszych 25 składników wyżej wyznaczonego ciągu.
Jednakże, nie wiesz, ile wynosi a25. Aby pozbyć się tej drugiej niewiadomej zapisz ją przy użyciu wcześniej wyprowadzonego wzoru:
Teraz podstaw otrzymane wyrażenie oraz znaną liczbę wszystkich miejsc w amfiteatrze:
Mając tę informację możesz obliczyć wyraz a16, czyli ilość siedzeń w rzędzie XVI.
Teraz musisz podstawić uzyskane wyniki do wcześniej wyprowadzonego wzoru:
Oczywiście:
Więc ilość siedzeń za droższe bilety jest mniejsza niż połowa, więc więcej jest miejsc za tańsze bilety.
Zadanie 16.
89Zadanie 17.
90Zadanie 18.
90Zadanie 25.
98Zadanie 27.
98Zadanie 16.
103Zadanie 17.
103Zadanie 19.
103Zadanie 14.
111Zadanie 13.
114Zadanie 14.
114Zadanie 21.
131Zadanie 23.
137Zadanie 28.
138Zadanie 20.
142Zadanie 23.
148