W tym zadaniu musisz wskazać prawdziwą informację na temat kąta BHG o mierze α w prostopadłościanie na ilustracji (o krawędziach podstawy długości 5 i 6 oraz wysokości 8).

Trójkąt BHG jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym przy wierzchołku G. Jedną z przyprostokątnych tego trójkąta jest krawędź GH która ma długość 5. Drugą z przyprostokątnych jest odcinek BG, który jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego BCG. Z twierdzenia Pitagorasa:

$\text{[math]}$

Odpowiedź: C. $\text{[math]}$ .

Zauważ, że trójkąt BHG jest trójkątem prostokątnym o kącie prostym przy wierzchołku G. Jedną z przyprostokątnych tego trójkąta jest krawędź GH która ma długość 5. Drugą z przyprostokątnych jest odcinek BG, który jest jednocześnie przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego BCG. Długość odcinka BG obliczysz z twierdzenia Pitagorasa:

$\text{[math]}$

Oczywiście możesz odrzucić ujemne rozwiązania, gdyż odcinek BG nie może być ujemny.

$\text{[math]}$

Kąt α możesz wyznaczyć przy użyciu jego tangensa. Ponieważ jest to kąt w trójkącie prostokątnym, to jego tangens to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko niego (odcinek |BG|) do długości przeciwprostokątnej leżącej przy nim (odcinek |GH|).

$\text{[math]}$

Nie jest to wartość tangensa która podana jest w odpowiedzi D. Nie jest to także wartość tangensa kąta 30° ani 60°. Oznacza to, że prawidłowa musi być odpowiedź C. Aby się jednak upewnić, że to ta odpowiedź jest prawidłowa oblicz wartość sinusa tego kąta.

Do obliczenia wartości sinusa potrzebujesz długość przeciwprostokątnej (odcinek |BH|) oraz przyprostokątnej leżącej naprzeciwko kąta (odcinek |BG|). Długość odcinka |BH| możesz obliczyć ze wzoru na przekątną prostopadłościanu:

$\text{[math]}$

Sinus kąta α to w tym przypadku stosunek długości odcinka |BG| do |BH|.

$\text{[math]}$

Oczywiście musisz usunąć niewymierność z mianownika przez przemnożenie licznika i mianownika przez pierwiastek. Jak widzisz, otrzymałeś dokładnie taką wartość jak w odpowiedzi C.

Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 12. - strona 135

Zadanie

W tym zadaniu musisz wskazać prawdziwą informację na temat kąta BHG o mierze α w prostopadłościanie na ilustracji (o krawędziach podstawy długości 5 i 6 oraz wysokości 8).

Rozwiązanie

Wyjaśnienie

Matematyka - wybrane pytania