W tym zadaniu musisz wyliczyć jaką długość ma odcinek zaznaczony jako x na poniższej ilustracji.
Trójkąt tworzony przez odcinek o długości 6 oraz 9 jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej o długości 9 i przyprostokątnej o długości 6. Niech druga przyprostokątna będzie oznaczona jako y.
Trójkąt o boku o długości 2 i drugim boku zawartym w „dolnym” boku dużego trójkąta jest trójkątem prostokątnym. Trójkąt ten ma wspólny kąt z „dużym” trójkątem. Niech będzie on oznaczony jako α. Więc miary dwóch kątów tych dwóch trójkątów są sobie równe. Z cechy KK te dwa trójkąty są podobne.
Bokowi o długości 2 w „małym” trójkącie odpowiada bok o długości 6 w „dużym” trójkącie. Więc skala podobieństwa tych dwóch trójkątów wynosi:
Przeciwprostokątnej „małego” trójkąta (oznaczona jako z) odpowiada przeciwprostokątna dużego trójkąta (o długości 9), więc ich stosunek wynosi tyle ile skala podobieństwa.
Trójkąt prostokątny którego przyprostokątną jest bok o długości 6, zaś przeciwprostokątną jest x, ma drugą przyprostokątną o długości y – z.
Trójkąt tworzony przez odcinek o długości 6 oraz 9 jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej o długości 9 i przyprostokątnej o długości 6. Drugą przyprostokątną możesz wyznaczyć z twierdzenia Pitagorasa. Oznacz ją jako y.
Oczywiście y będzie dodatni, więc możesz odrzucić ujemne rozwiązanie.
Zauważ, że trójkąt, który ma jeden z boków o długości 2 i zawiera w sobie „dolny” bok dużego trójkąta jest trójkątem prostokątnym. Również jeden z kątów tego trójkąta ma taką samą miarę jak „duży” trójkąt (jest to dokładnie ten sam kąt). Trzeci kąt tego trójkąta również musi mieć taką samą miarę jak w dużym trójkącie (gdyż jeśli wspólny kąt oznaczysz sobie jako α, to drugi kąt ostry w obu trójkątach ma miarę 90° – α) Oznacza to, że te trójkąty są podobne.
Boku o długości 2 odpowiada bok o długości 6. Więc skala podobieństwa tych trójkątów wynosi:
Przeciwprostokątnej małego trójkąta (niech będzie oznaczona jako z) odpowiada przeciwprostokątna dużego trójkąta (o długości 9), więc ich stosunek wynosi tyle ile skala podobieństwa.
Zauważ, że po odjęciu od boku oznaczonego jako y długość boku oznaczonego jako z otrzymasz drugą przeciwprostokątną trójkąta, którego przeciwprostokątną jest szukany bok x. Więc korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymasz długość x.
Podstaw za y i z obliczone wcześniej długości boków:
Wyrażenie z nawiasu oblicz korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.
Ponieważ x jest długością boku i nie może być ujemne, możesz od razu odrzucić ujemne rozwiązanie.
Zadanie 16.
89Zadanie 17.
90Zadanie 18.
90Zadanie 25.
98Zadanie 27.
98Zadanie 16.
103Zadanie 17.
103Zadanie 19.
103Zadanie 14.
111Zadanie 13.
114Zadanie 14.
114Zadanie 21.
131Zadanie 23.
137Zadanie 28.
138Zadanie 20.
142Zadanie 23.
148