W tym zadaniu musisz obliczyć, ile należy wykonać obrotów szpulą o średnicy 7 cm, aby nawinąć całą wstążkę o długości 5 m, wiedząc, że z każdym kolejnym obrotem nawija się na nią fragment o 2 mm dłuższy, niż podczas poprzedniego. Musisz założyć, że π wynosi $\text{[math]}$ .

Oznaczając długość wstążki w milimetrach, jaka nawija się na szpulę podczas n-tego obrotu przez (a_n), to długość ta będzie wyrażona wzorem:

$\text{[math]}$

Dokładnie po 20,845 obrotach nawinięte zostanie 5 m wstążki. Więc aby nawinąć całą wstążkę należy obrócić szpulką 21 razy, przy czym wstążka skończy się w trakcie ostatniego obrotu.

Odp.: 21 razy.

Długość wstążki, która się nawija na szpulę z każdym obrotem rośnie o 2 mm. Odpowiada do opisowi ciągu arytmetycznego o różnicy wynoszącej 2. A więc jeśli oznaczysz długość wstążki w milimetrach, jaka nawija się na szpulę podczas n-tego obrotu przez (a_n), to ta długość będzie wyrażona wzorem:

$\text{[math]}$

Aby podać pełen wzór potrzebujesz znać długość wstążki jaka się nawija podczas pierwszego obrotu. Zauważ, że długość ta będzie równa obwodowi szpuli (oczywiście pomijasz wszelkie zagięcia czy niedoskonałości). Obwód szpuli z kolei wyliczysz ze wzoru na długość okręgu:

$\text{[math]}$

Z treści zadania wiesz, że średnica wynosi 7 cm. Pamiętaj, że długość ta musi być wyrażona w milimetrach, dlatego musisz zamienić 7 cm na 70 mm. Pamiętaj także, że średnica to dwukrotność promienia. Jednak nie musisz wyznaczać promienia, gdyż zauważ, że występujące we wzorze 2r odpowiada średnicy. Wystarczy więc zamiast 2r podstawić 70 mm, zaś za π przybliżenie z treści zadania:

$\text{[math]}$

Mając tę informację możesz podać szukany wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$\text{[math]}$

W tym zadaniu musisz wyliczyć ilość obrotów jaką trzeba wykonać by nawinąć całą wstążkę o długości 5 m na szpulę. Oznacza to, że musisz obliczyć, ile elementów wspominanego ciągu arytmetycznego po zsumowaniu daje wynik równy lub większy niż 5 m, a więc dla jakiego n, S_n jest równe lub większe niż 5 m.

Pamiętaj, że ilość wstążki jaka nawija się za każdym obrotem podana jest w mm, więc długość całej wstążki musisz podać także w mm. 5 m to 5000 mm.

Zapisz ze wzoru, sumę n elementów i przyrównaj ją do 5000:

$\text{[math]}$

Następnie podstaw za a₁ znaną wartość i za a_n otrzymane wyrażenie, a następnie uprość całość:

$\text{[math]}$

Pamiętaj, że szukasz ilości obrotów szpuli potrzebnej do nawinięcia 5 m wstążki. Oczywiście ilość obrotów nie może być liczbą ujemną, więc pierwszy przypadek możesz odrzucić. Jeśli chodzi o drugi przypadek, to dokładnie po takiej liczbie obrotów nawinięte zostanie 5 m wstążki. Czyli po 20 obrotach i ok. 0,845 dwudziestego pierwszego obrotu, na szpulce będzie 5 m. Ale liczba obrotów szpulką powinna być liczbą naturalną. Więc aby nawinąć całą wstążkę musisz obrócić szpulką 21 razy, przy czym wstążka skończy się w trakcie ostatniego obrotu.

Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 26. - strona 98

Zadanie

W tym zadaniu musisz obliczyć, ile należy wykonać obrotów szpulą o średnicy 7 cm, aby nawinąć całą wstążkę o długości 5 m, wiedząc, że z każdym kolejnym obrotem nawija się na nią fragment o 2 mm dłuższy, niż podczas poprzedniego. Musisz założyć, że π wynosi .

Rozwiązanie

Wyjaśnienie

Matematyka - wybrane pytania