Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 15. - strona 117

W tym zadaniu musisz udowodnić, że $\text{[math]}$ na podstawie $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$

Co należało dowieść.

Aby dowieść prawdziwości tożsamości wystarczy, że pokażesz, że lewą stronę można przekształcić w prawą stronę, bądź na odwrót (ewentualnie, że obie strony da się przekształcić w takie same wyrażenia). W tym wypadku zdecydowanie trzeba przekształcić lewą stronę.

$\text{[math]}$

Trzeba było skorzystać tutaj ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, a następnie zauważyć jedynkę trygonometryczną. Okazuje się, że musisz znaleźć jedynie wartość iloczynu sinusa i cosinusa α. W tym celu wykorzystaj podaną pomocniczą zależność (pamiętaj, że jest ona już w treści podana jako prawdziwa)

Przypomnij sobie zależność wiążącą ze sobą tangensa, sinusa i cosinusa danego kąta. Tangens wyraża się jako iloraz sinusa i cosinusa danego kąta. Więc możesz zapisać:

$\text{[math]}$

Jednak zanim podstawisz do podanego wyrażenia, to przekształć je, aby łatwiej było działać na nim. Sprowadź je do wspólnego mianownika oraz zamień liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy.

$\text{[math]}$

Teraz podstaw wyrażenie z sinusem i cosinusem.

$\text{[math]}$

Skup się na lewej stronie równania. Podnieś do kwadratu nawias, a następnie sprowadź licznik do wspólnego mianownika. Zauważ, że licznik ułamku w liczniku to jedynka trygonometryczna. Zapisz kreskę ułamkową jako dzielenie, a następnie skorzystaj z tego, że dzieląc przez ułamek mnożysz przez jego odwrotność. Możesz skrócić cosinusy i otrzymujesz szukane wyrażenie w mianowniku lewej strony.

$\text{[math]}$

Wróć do równania wstawiając lewą stronę po przekształceniach:

$\text{[math]}$

Po obu stronach równania są ułamki, więc możesz wymnożyć to równanie „na krzyż”.

$\text{[math]}$

W zasadzie powinno się tu dzielić przez 8, ale zauważ, że potrzebujesz do głównej tożsamości dwukrotności iloczynu. Więc aby ograniczyć rachunki podziel przez 4, aby uzyskać od razu dwukrotność iloczynu.

Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 15. - strona 117

Zadanie

W tym zadaniu musisz udowodnić, że na podstawie .

Rozwiązanie

Wyjaśnienie

Matematyka - wybrane pytania

W tym zadaniu musisz udowodnić, że $\text{[math]}$ na podstawie $\text{[math]}$ .