W tym zadaniu musisz wyznaczyć jaką długość mają boki równoległoboku oraz jaką wartość mają jego kąty, jeśli kąt przecięcia jego przekątnych, których długości to 5 oraz 8 wynosi 60°.

Przekątne w równoległoboku przecinają się w połowie. Niech a – bok równoległoboku. Z twierdzenia cosinusów:

$\text{[math]}$

Niech b – drugi bok równoległoboku. Miara kąta pod którym przecinają się przekątne i ten kąt jest naprzeciw boku b to: 180° – 60° = 120°. Z twierdzenia cosinusów:

$\text{[math]}$

Niech β – kąt równoległoboku. Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta składającego się z dwóch boku równoległoboku oraz przekątnej o długości 5:

$\text{[math]}$

Ponieważ suma kątów przy jednym boku w równoległoboku wynosi 180° to wartość drugiego kąta γ wynosi:

$\text{[math]}$

Przekątne w równoległoboku przecinają się dokładnie w połowie. Połówki tych przekątnych tworzą wraz z jednym z boków równoległoboku trójkąt, którego jeden z kątów to 60° (kąt pod którym przecinają się przekątne). Kąt ten leży naprzeciw szukanego boku równoległoboku. Długość tę możesz wyliczyć z twierdzenia cosinusów. Jeśli ten bok oznaczysz jako a, to podstawiając do twierdzenia cosinusów otrzymasz:

$\text{[math]}$

Pamiętaj, że bierzesz tutaj połówki przekątnych.

$\text{[math]}$

Oczywiście bok równoległoboku nie może być ujemny, więc możesz od razu odrzucić ujemne rozwiązanie.

$\text{[math]}$

Aby obliczyć drugi bok tego równoległoboku postąp analogicznie dla trójkąta powstałego z połówek przekątnych i drugiego boku. Kąt naprzeciw drugiego boku, będzie tworzył ze znanym kątem 60° kąty przyległe, więc jego miara będzie wynosić: 180° – 60° = 120°. Korzystając z twierdzenia cosinusów i oznaczając szukany bok jako b otrzymasz:

$\text{[math]}$

Ponieważ wartość cosinusa 120° nie jest podana w tablicach wartości funkcji trygonometrycznych musisz skorzystać ze wzorów redukcyjnych. Skorzystaj tutaj z tego, że:

$\text{[math]}$

Kąt 120° możesz zapisać jako 180° – 60°, więc kątem α ze wzoru będzie 60°.

$\text{[math]}$

Teraz już możesz obliczyć długość b:

$\text{[math]}$

Oczywiście bok równoległoboku nie może być ujemny, więc możesz od razu odrzucić ujemne rozwiązanie.

$\text{[math]}$

Aby obliczyć wartość jednego z kątów tego równoległoboku ponownie skorzystaj z twierdzenia cosinusów. Tym razem użyj go do trójkąta składającego się z dwóch boków tego równoległoboku oraz jednej (teraz już całej) przekątnej. Szukany kąt będzie leżał naprzeciw tej przekątnej. Jest to dowolne którą przekątną wybierzesz, ale żeby otrzymać kąt ostry, to weź krótszą przekątną. Podstawiając do twierdzenia cosinusów otrzymasz:

$\text{[math]}$

Gdzie a i b to obliczone wcześniej boki, zaś β to szukany kąt. Zauważ, że we wzorze pojawiają się liczone wcześniej boki w kwadratach, a licząc te boki na pewnym etapie otrzymywałeś dokładne wartości kwadratów tych boków, więc podstaw wcześniej otrzymywane liczby.

Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 29. - strona 126

Zadanie

W tym zadaniu musisz wyznaczyć jaką długość mają boki równoległoboku oraz jaką wartość mają jego kąty, jeśli kąt przecięcia jego przekątnych, których długości to 5 oraz 8 wynosi 60°.

Rozwiązanie

Wyjaśnienie

Matematyka - wybrane pytania