W tym zadaniu musisz wyznaczyć objętość graniastosłupa o podstawie będącej trapezem równoramiennym którego boki mają długości 5cm, 5cm, 6cm i 12cm, zaś kąt nachylenia w tym graniastosłupie do podstawy wynosi 60°.

$\text{[math]}$

Wysokość graniastosłupa, przekątna graniastosłupa oraz przekątna trapezu tworzą trójkąt prostokątny, w którym kąt między przekątną podstawy oraz graniastosłupa wynosi 60°.

$\text{[math]}$

Do obliczenia objętości graniastosłupa potrzebujesz pola powierzchni jego podstawy oraz wysokości. W celu wyznaczenia tych wartości narysuj rysunek podstawy:

Do obliczenia pola podstawy, czyli trapezu potrzebujesz wyznaczyć wysokość tego trapezu. Zauważ, że wysokość tworzy wraz z ramieniem trapezu oraz fragmentem dolnej podstawy oznaczonym jako x trójkąt prostokątny.

Aby obliczyć x zauważ, że dolna podstawa składa się z dwóch długości x oraz długości górnej podstawy, co możesz zapisać jako:

$\text{[math]}$

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możesz obliczyć wysokość h.

$\text{[math]}$

Oczywiście wysokość nie może być ujemna, więc możesz odrzucić ujemne rozwiązanie.

$\text{[math]}$

Mając te informacje możesz skorzystać ze wzoru na pole trapezu.

$\text{[math]}$

Zauważ, że wysokość graniastosłupa tworzy wraz z przekątną graniastosłupa oraz przekątną trapezu w podstawie trójkąt prostokątny, w którym kąt między przekątną podstawy oraz graniastosłupa wynosi 60°. Aby obliczyć wysokość tego graniastosłupa musisz obliczyć przekątną trapezu.

Zauważ, że przekątna w trapezie tworzy trójkąt prostokątny wraz z wysokością trapezu oraz fragmentem jego dłuższej podstawy. Fragment ten to suma długości krótszej przekątnej oraz długości oznaczonej jako x, czyli 3 cm. Łącznie ten odcinek ma długość 9 cm. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możesz obliczyć szukaną przekątną.

$\text{[math]}$

Oczywiście przekątna nie może być ujemna, więc pierwiastkując możesz od razu odrzucić ujemne rozwiązanie.

$\text{[math]}$

Mając tę informację możesz obliczyć wysokość graniastosłupa. Musisz znaleźć taką funkcję trygonometryczną kąta 60° która wiąże ze sobą szukaną wysokość graniastosłupa oraz znaną przekątną podstawy. Obie te długości stanowią przyprostokątne wspominanego wcześniej trójkąta prostokątnego, więc taką funkcją jest tangens. Wysokość graniastosłupa znajduje się naprzeciwko kąta, którego funkcję chcesz wyrazić. Tangens 60° będzie więc wynosił:

Matematyka z Plusem. Klasa 4. Podręcznik – rozwiązania i odpowiedzi

Zadanie 15. - strona 136

Zadanie

W tym zadaniu musisz wyznaczyć objętość graniastosłupa o podstawie będącej trapezem równoramiennym którego boki mają długości 5cm, 5cm, 6cm i 12cm, zaś kąt nachylenia w tym graniastosłupie do podstawy wynosi 60°.

Rozwiązanie

Wyjaśnienie

Matematyka - wybrane pytania