W tym zadaniu musisz wyznaczyć kąt α dla którego linie czerwone i niebieskie zaznaczone na załączonym rysunku i które łączą punkty A oraz B są równe. Długość promieni obu okręgów na rysunku jest taka sama, zaś proste AC oraz BC są styczne do tych okręgów w punktach A, B, D oraz E.
Z twierdzenia o odcinkach stycznych:
|AC| = |DC| oraz |BC| = |EC|
Ponieważ są to odcinki styczne do okręgów o tych samych promieniach oraz są odcinkami parami współniowymi (AC współliniowe z BC oraz CD współliniowe z EC) to wszystkie te odcinki są sobie równe. Niech:
|AC| = |DC| = |BC| = |EC| = x
Punkty A, C, D oraz środek okręgu tworzą czworokąt o dwóch kątach prostych (przy punktach styczności A oraz D) oraz o trzecim kącie wynoszącym α. Kąt środkowy w okręgu który jest czwartym kątem w tym czworokącie ma miarę 360° – 90° – 90° – α = 180° – α. Łuk AD jest łukiem opartym na kącie wklęsłym o mierze: 360° – (180° – α) = 360° – 180° + α = 180° + α. Niech r – długość promienia okręgu.
Łuk AD oparty jest na kącie 180° – α.
Kąt BCE jest kątem wierzchołkowym z kątem ACD.
|∢BCE| = |∢ACD| = α
Więc długość łuku EB wynosi tyle samo co długość łuku AD.
Zauważ, że na mocy twierdzenia o odcinkach stycznych odcinki AC oraz DC są równe, podobnie jak odcinki BC i EC. Ponieważ po obu „stronach” punktu C są okręgi o tych samych promieniach oraz odcinki AC i EC oraz DC i BC leżą na tych samych prostych (są współliniowe) to wszystkie te odcinki są sobie równe. Oznacz ich długość przez x.
Najpierw zapisz długości linii czerwonej oraz niebieskiej.
Linia czerwona składa się z łuku AD oraz odcinków DC oraz CB. Zauważ, że punkty A, C, D oraz środek okręgu tworzą czworokąt o dwóch kątach prostych (przy punktach styczności A oraz D) oraz o trzecim kącie wynoszącym α. Kąt środkowy w okręgu który jest czwartym kątem w tym czworokącie ma miarę 360° – 90° – 90° – α = 180° – α. Zwróć uwagę, że ten kąt jest wypukłym kątem środkowym łuku AD, natomiast odcinek zaznaczony na czerwono jest łukiem opartym na kącie wklęsłym. Aby policzyć jego miarę od 360° musisz odjąć miarę wypukłego kąta środkowego. Więc szukana miara kąta wynosi 360° – (180° – α) = 360° – 180° + α = 180° + α. Jeśli promień okręgu oznaczysz jako r, to długość łuku AD opartego na kącie wkłęsłym obliczysz ze wzoru na długość łuku.
Więc długość całego czerwonego odcinka wynosi:
Linia niebieska składa się z łuku AD, odcinków DC oraz EC i łuku EB. Na podstawie wcześniejszych obliczeń obliczyłeś, że łuk AD oparty jest na kącie 180° – α. Łuk niebieski jest oparty na kącie wypukłym, więc rozważając czworokąt którego wierzchołki to A, D, C oraz środek okręgu to otrzymasz bezpośrednio szukany kąt. Jeśli promień okręgu oznaczysz jako r, to długość łuku AD opartego na kącie wypukłym obliczysz ze wzoru na długość łuku.
Zauważ, że kąt BCE jest kątem wierzchołkowym z kątem ACD o którym wiesz, że ma miarę α. Więc kąt BCE także ma miarę α. Przeprowadzając analogiczny proces myślowy co wcześniej, otrzymasz, że długość łuku EB wynosi tyle samo co długość łuku AD.
Więc długość całego niebieskiego odcinka wynosi:
Aby znaleźć wartość kąta dla którego oba te odcinki są równe przyrównaj długości tych odcinków do siebie.
Możesz podzielić przez r, gdyż promień okręgu musi być różny od 0.
Przemnóż obie strony przez wspólny mianownik by się pozbyć ułamków.
Zadanie 16.
89Zadanie 17.
90Zadanie 18.
90Zadanie 25.
98Zadanie 27.
98Zadanie 16.
103Zadanie 17.
103Zadanie 19.
103Zadanie 14.
111Zadanie 13.
114Zadanie 14.
114Zadanie 21.
131Zadanie 23.
137Zadanie 28.
138Zadanie 20.
142Zadanie 23.
148